Giải sbt toán 9 tập 2: bài tập IV.3 trang 64

a)     \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) + 2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x + 2 = 0} \cr {{x^2} + 2x - 3 = 0} \cr} } \right. x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \)

\({x^2} + 2x - 3 = 0\).

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = 1 \hfill \cr {x_2} = {{ - 3} \over 1} =  - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} =  - 2;{x_2} = 1;{x_3} =  - 3\)

b)    \({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 1 = 0} \cr {{x^2} - x - 6 = 0} \cr} } \right.x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \)

\({x^2} - x - 6 = 0 \)

\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 1 + 24 = 25 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \hfill \cr {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2  \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} =  - 2\)

c)     \(2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right)^2} - 3\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right) - 4 = 0 \)

Đặt \(\sqrt 2 {x^2} + x = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 3t - 4 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{t_1} =  - 1 \hfill \cr {t_2} =  - {{ - 4} \over 1} = 4 \hfill \cr} \right.\)

• Với \(t =  - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0\)

\(\Delta  = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2  < 0\) phương trình vô nghiệm

• Với \(t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0\)

\(\Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - 4} \right) = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm.

d)    \(\left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 5} \right]\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)^2} - 5\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \)

Đặt \(2{x^2} + 7x - 3 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 5t - 6 = 0\)

Phương trình có dạng \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0\)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{t_1} =  - 1 \hfill \cr {t_2} =  - {{ - 6} \over 1} = 6 \hfill \cr} \right.\)

• Với t = -1 ta có:

\(2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \)

\(\Delta = {7^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 49 + 16 = 65 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {65} \)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \hfill \cr {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

• Với t = 6, ta có: 

\(2{x^2} + 7x - 3 = 6 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;2 + 7 + \left( { - 9} \right) = 0\)

\(\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = 1 \hfill \cr {x_2} =  - {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

\({x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};{x_3} = 1;{x_4} =  - {9 \over 2}\)