Giải câu 9 bài định lí côsin và định lí sin

a. Ta có: $S_{BDE}$ = $\frac{1}{2}$.BD.BE.sinB  (1)

           $S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.BA.BC.sinB      (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}$ = $\frac{BD.BE}{BA.BC}$ (đpcm)

b. Kẻ EH $\perp$ BC.

Có $S_{ABC} = 9S_{BDE}$ $\Rightarrow$ AD. BC = 9EH. BD $\Rightarrow$ $\frac{EH}{AD}$ = $\frac{BC}{9BD}$ (1)

Xét tam giác ABD có EH // AD (vì cùng vuông góc với BC), ta có:

$\frac{EH}{AD}$ = $\frac{BH}{BD}$ (định lí Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BC}{9BD}$ = $\frac{BH}{BD}$ $\Rightarrow$ BC = 9BH.

Xét tam giác BCE vuông tại C có đường cao EH: $BE^{2} = BH. BC = 9BH^{2}$ $\Rightarrow$ BE = 3BH

Ta có: cosB = $\frac{BH}{BE}$ = $\frac{BH}{3BH}$ = $\frac{1}{3}$.

Gọi R là bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Ta có: sinB = $\sqrt{1 - cos^{2}B} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow$ r = $\frac{DE}{2sinB}$ = $\frac{3}{2}$ (định lí sin trong tam giác BDE)

Xét tam giác ABC và BDE có: $\widehat{B}$ chung, $\widehat{A}$ = $\widehat{BDE}$ (vì cùng bù với $\widehat{CDE}$) nên hai tam giác ABC và BDE đồng dạng với nhau (g.g).

mà $S_{ABC} = 9S_{BDE}$ $\Rightarrow$ Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k = $\sqrt{9}$ = 3

$\Rightarrow$ R = 3r = $\frac{9}{2}$