Giải câu 10 bài định lí côsin và định lí sin
Bài tập 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng $\alpha$. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a. Chứng minh S = $\frac{x}{y}$sin$\alpha$
b. Nêu kết quả trong trường hợp AC $\perp$ BD.
a. Ta có: $S_{ABCD}$ = $S_{ABD}$ + $S_{CBD}$
Vẽ AH và CK vuông góc với BD.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có AH = AI.sin$\alpha$; CK = CI.sin$\alpha$
$S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AH. BD + $\frac{1}{2}$CK. BD = $\frac{1}{2}$BD(AH + CK) = $\frac{1}{2}$BD(AI + IC).sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$BD.ACsin$\alpha$
$\Rightarrow$ S = $\frac{x}{y}$sin$\alpha$ (đpcm)
b. Nếu AC $\perp$ BD thì sin$\alpha$ = 1, khi đó S = $\frac{xy}{2}$.
Như vậy, nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
Xem toàn bộ: Giải bài 2 Định lí côsin và định lí sin
Bình luận