Giải Bài tập 9.31 trang 98 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

$\frac{dy}{dx}=-\frac{a}{a^{2}}$

Phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm $(x_{0},y_{0})$

$y-y_{0}=-\frac{a}{x^{2}}(x-x_{0})$

Đường tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm $(x_{0},0)$ và cắt trục tung tại điểm (0,y_{0}+\frac{a}{x_{0})

Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục hoành là:

$S_{1}=\frac{1}{2}(x_{0}-0).(0-y_{0})=\frac{1}{2}x_{0}y_{0}$

Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục tung là:

$S_{2}=\frac{1}{2}(y_{0}+\frac{a}{x_{0}}-y_{0})(0-x_{0})=\frac{1}{2}a$

$S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}(x_{0}y_{0}+a)=\frac{1}{2}(2a)=a$

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng diện tích của tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và các trục toạ độ là không đổi và bằng $a$, với 
 $a$ là hằng số dương của đường hyperbol.