Giải Bài tập 7.40 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) Ta có $SA \perp (ABC)$ nên $(SAB) \perp (ABC)$. Mặt khác, $AB \perp BC$ nên $(SAB) \perp (SBC)$. Từ đó suy ra $(SBC) \perp (SAB)$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $AH \perp BC$.

Vậy $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$, nên $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $SC = \sqrt{SA^2 - AC^2} = a$ (vì $AC = 2AB = 2\cdot\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$).

$SB = AB = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $SC = a$

$BC = a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC} = 90^\circ$

Vậy diện tích của tam giác $SBC$ là $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{S_{SBC}}{BC} = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.