Giải bài tập 6 trang 65 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo
6. Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic( xem phần đọc thêm Bạn có biết?ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai) Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: tia sáng hướng tới tiêu điểm F1 của hypebol(H) khi gajwo một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F2. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol(P) và hình một nhánh của hypebol(H). Parabol (P) có tiêu điểm F1 và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F1 với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F2 (Hình 3).
Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF1, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F2 là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF1 = 14 m, SF2 = 2 m và AF1 = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).
Gọi phương trình chính tắc của (H) là
$\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1
(a > 0, b > 0).
F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) nên 2c = F1F2 = SF1 – SF2 = 14 – 2 = 12, suy ra c = 6.
AF2 = F1F2 – AF1 = 12 – 1 = 11.
Vì A thuộc (H) nên 2a = |AF1 – AF2| = |1 – 11| = 10, suy ra a = 5,
=> $b^2$ = $c^2$ - $a^2$ = $6^2$ - $5^2$ =11
Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{25}$ - $\frac{y^2}{11}$=1
Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^2$ = 2px (p>0)
S là đỉnh và F1 là tiêu điểm của parabol
nên $\frac{P}{2}$ =SF1 = 14, suy ra p = 28.
Vậy phương trình chính tắc của (P) là $y^2$ = 56x
Bình luận