Giải bài tập 3.14 trang 39 SBT toán 10 tập 1 cánh diều
Bài tập 3.14. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.
Chứng minh rằng:
a) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$;
b) cot C = 2(cot A + cot B).
Trả lời:
a) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Khi đó AG = $\frac{2}{3}$AM, BG = $\frac{2}{3}$BN
Từ đó, theo định lí Pytago ta có:
$c^{2} = AB^{2} = AG^{2} + BG^{2} = \frac{4}{9}(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}) + \frac{4}{9}(\frac{c^{2}+a^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4})$
$c^{2} = \frac{a}{9}(c^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{4})$
Suy ra $5c^{2}=a^{2}+b^{2}$
b) Do $5c^{2}=a^{2}+b^{2}$ nên cot C = $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} = \frac{c^{2}}{S}$
2(cot A + cot B) = 2$(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} + \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4S}) = \frac{c^{2}}{S}$
Suy ra cot C = 2(cot A + cot B)
Bình luận