Giải bài tập 3.13 trang 39 SBT toán 10 tập 1 cánh diều
Bài tập 3.13. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) cot A + cot B + cot C = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}$;
b) $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{3}{4}(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Trả lời:
a) Từ định lí côsin và công thức tính diện tích tam giác, suy ra:
cot A = $\frac{cos A}{sin A}$ = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc. sin A}$ = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4S}$
Tương tự ta có cot B = $\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{4S}$
Tương tự ta có cot C = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4S}$
Từ đó cot A + cot B + cot C = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}$
b) Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
$m_{a}^{2} = \frac{b^{2}+c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$
$m_{b}^{2} = \frac{a^{2}+c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$
$m_{c}^{2} = \frac{b^{2}+a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$
Do đó:
$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{b^{2}+c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}+c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} + \frac{b^{2}+a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$
$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{2+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2} - \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}$
$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{3}{4}(a^{2} + b^{2} + c^{2})$
Bình luận