Giải bài tập 2.3 trang 33 SBT toán 11 tập 1 kết nối

a) Ta có $u_{n}=\frac{n}{2n+1} \geq \frac{1}{3} , \forall n \geq 1$

Lại có $u_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}(2n+1)-\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}$. Suy ra $u_{n} \leq \frac{1}{2}, \forall n \geq 1$

Suy ra $u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$

Do đó $\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

b) Ta có $n-1 \geq 0$ với mọi $n \geq 1$ và $n^{2} \geq 0$ với mọi n.

Do đó, $u_{n}=n^{2}+n-1 \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi 1 với mọi $n \geq 1$

c) Ta có $u_{n}=-n^{2}+1<1$ với mọi $n \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi 1 với mọi $n \geq 1$