Giải bài tập 2.2 trang 33 SBT toán 11 tập 1 kết nối

a) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)^{2}+(n+1)+1]-(n^{2}+n+1) $

$= n^{2}+2n+1+n+1+1-n^{2}-n-1=2n+2 > 0 \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n+1}>u_{n} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng.

b) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(n+1)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}=$

$\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}=\frac{(2n+7)(n+2)-(2n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{-1}{(n+3)(n+2)}<0, \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n+1}<u_{n}, \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số giảm.

c) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{(-1)^{n+1-1}}{(n+1)^{2}+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

$=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}=(-1)^{n}(\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1})$

Vì $ \frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} > 0, \forall n \geq 1$ nên hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số $(u_{n})$ không tăng cũng không giảm.