Slide bài giảng Toán 12 kết nối Bài 6: Vectơ trong không gian

Tóm lược nội dung

BÀI 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Nhận biết vectơ trong không gian

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. 

1. Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
2. Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phảng không?

Giải rút gọn:

1. Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.
2. Không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Luyện tập 1: Cho hình lập phương (H.2.6). Trong các vectơ , , :

1. Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng ?
2. Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Giải rút gọn:

1. Hai vectơ đó là và vì chúng có giá nằm trong mặt phẳng .
2. Vì là hình lập phương nên .

Tam giác vuông tại nên theo định lý Pythagore ta có:

Tam giác vuông tại nên theo định lý Pythagore ta có:

Vậy nên hay . Vậy hai vectơ và có cùng độ dài.

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian.

Cho hình hộp (H.2.7).

1. So sánh độ dài của hai vectơ và .
2. Nhận xét về giá của hai vectơ và .
3. Hai vectơ  và có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Giải rút gọn:

1. Vì là hình hộp nên và là các hình bình hành. => . Vậy nên .
2. Vì và là các hình bình hành nên , . Do đó . Vậy giá của hai vectơ và song song với nhau.
3. Cùng phương và cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

1. Trong ba vectơ , và , vectơ nào bằng vectơ ?
2. Gọi là một điểm thuộc cạnh . Xác định điểm sao cho .

Giải rút gọn:

1. và có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Vì và chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.

Vì hai vectơ và không cùng phương nên hai vectơ và không bằng nhau.

1. Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại .

Tứ giác có: , nên tứ giác là hình bình hành. Do đó, .

Lại có nên nên hai vectơ và cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, . Vậy điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua song song với và cạnh .

Vận dụng 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Giải rút gọn:

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là , tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là .

Vì hai vectơ và đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ và có cùng hướng.

Độ dài vectơ là: , độ dài vectơ là: nên

Vậy nên . Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ , (H.2.10).

1. Giải thích vì sao và .
2. Giải thích vì sao là hình bình hành, từ đó suy ra .

Giải rút gọn:

1. Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, và . Do đó, tứ giác là hình bình hành. Suy ra, , hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, và . Do đó, tứ giác là hình bình hành. Suy ra, , hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

1. Vì hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. =>  và nên tứ giác là hình bình hành. =>  và . Do đó, hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. =>.

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ .

Giải rút gọn:

là hình lập phương nên là hình vuông. Do đó .

Ta có:

Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương bằng 1 nên

Vậy

Luyện tập 4: Cho tứ diện (H.2.13). Chứng minh rằng .

Giải rút gọn:

Hoạt động 4: Thiết lập quy tắc hình hộp.

Cho hình hộp (H.2.14).

1. Hai vectơ và có bằng nhau hay không?
2. Hai vectơ và có bằng nhau hay không?

Giải rút gọn:

1. Vì là hình bình hành nên .
2. Ta có: (1)

,  và , . Suy ra, và . => tứ giác là hình bình hành. => (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Luyện tập 5: Cho hình hộp chữ nhật . Chứng minh rằng .

Giải rút gọn:

Vì là hình chữ nhật nên ,

Vì là hình hộp chữ nhật nên

Ta có: .

Hoạt động 5: Nhận biết vectơ đối của một vectơ trong không gian.

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

Giải rút gọn:

Có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.

Luyện tập 6: Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

1. và là hai vectơ đối nhau;
2. .

Giải rút gọn:

1. Tứ giác là hình bình hành nên , . Suy ra (vì lần lượt là trung điểm của ) và . Do đó, tứ giác là hình bình hành, do đó, và . Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên và đối nhau.
2. . =>.

Vận dụng 2: Thang cuốn tại các trung tâm thương mai, siêu thị lớn hay nhà ga, san bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi là có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Giải rút gọn:

Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 6: Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian.

Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của (H.2.17).

1. Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
2. Giải thích vì sao .

Giải rút gọn:

1. Vì là đường trung bình của tam giác nên .

Vì là hình bình hành nên .Suy ra: .

Do đó hai vectơ và có cùng phương và cùng hướng.

1. Vì là hình bình hành nên .

Vì là đường trung bình của tam giác nên

Luyện tập 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là các điểm thuộc các cạnh sao cho . Chứng minh rằng .

Giải rút gọn:

Vì =>

Tam giác có: nên và

Vì hai vectơ và cùng hướng nên (1)

Vì là hình bình hành nên và . Do đó (2)

Từ (1) và (2) suy ra: .

Luyện tập 8: Trong Ví dụ 8, gọi là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho (H.2.19). Chứng minh rằng:

.

Giải rút gọn:

Ta có:

• 
• 
• (đpcm)

Vận dụng 3: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ và . Hãy giải thích vì sao với là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải rút gọn:

với là một số thực dương nào đó (1).

Gọi lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900 km/h và 920 km/h.

=> (2)

Từ (1) và (2) suy ra: =>

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 7: Hình thành khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy điểm và vẽ các vectơ . Lấy điểm khác và vẽ các vectơ (H.2.21).

1. Giải thích vì sao .
2. Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác và để giải thích vì sao .

Giải rút gọn:

1. Ta có: ;

Mà => ; .

Do đó .

.

=> ; => ; =>

Vậy => .

Luyện tập 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều (H.2.25). Tính các góc () và ().

Giải rút gọn: 

Vì là lăng trụ tam giác đều nên là hình chữ nhật. =>. Do đó .

Vì là hình chữ nhật, suy ra . Do đó .

Vì tam giác là tam giác đều nên . Do đó,

Hoạt động 8: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Giải rút gọn:

Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là, được xác định bởi công thức sau:

Luyện tập 10: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng và .

Giải rút gọn:

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và trong hình vuông . Do đó, là trung điểm của , là trung điểm của .

Tứ giác là hình vuông cạnh , độ dài đường chéo là =>

Gọi là trung điểm của . Mà là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác , do đó và . Suy ra

Vì là trung điểm của nên

Tam giác có ba cạnh bằng nhau nên tam giác là tam giác đều nên là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác . Do đó,

nên vuông tại . Do đó

Tứ giác là hình vuông nên

Vì tam giác có ba cạnh bằng nhau nên tam giác đều, suy ra

Suy ra:

Luyện tập 11: Cho hình lập phương . Chứng minh rằng .

Giải rút gọn:

Gọi cạnh của hình lập phương là . Khi đó,

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và của hình vuông . Khi đó, là trung điểm của và . =>  và .

Gọi là trung điểm của . Mà là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác . => và .

nên vuông tại . Do đó

Ta có: (đpcm)

Vận dụng 4: Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường thì công sinh ra được tính theo công thức , trong đó lực có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường tính bằng mét và công tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Giải rút gọn:

Vì lực có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất. Do đó . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật. 

GIẢI BÀI TẬP

Giải rút gọn bài 2.1 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho ba vectơ , , phân biệt và đều khác . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

1. Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
2. Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.
3. Nếu và đều cùng hướng với thì và ngược hướng.
4. Nếu và đều ngược hướng với thì và ngược hướng.

Giải rút gọn:

a, b.

Giải rút gọn bài 2.2 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp chữ nhật có và . Tính độ dài của các vectơ và .

Giải rút gọn:

Vì là hình chữ nhật nên =>

Vì tứ giác là hình chữ nhật nên tam giác vuông tại .

Do đó, (định lý Pythagore), suy ra: . Vì là hình chữ nhật nên vuông tại .

=>

Giải rút gọn bài 2.3 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt bàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ ) phân tác đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ , , , ).

1. Hãy chỉ ra mỗi quan hệ về phương và hướng của các vectơ và .
2. Giải thích vì sao các vectơ đôi một bằng nhau.

Giải rút gọn:

1. Các vectơ và có cùng phương; các vectơ cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ .
2. Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ cùng hướng với nhau. 

Giải rút gọn bài 2.4 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

1. ;
2. ;
3. .

Giải rút gọn:

1. Vì là hình bình hành nên .

Vì là hình bình hành nên ,

Ta có: .

1. Ta có:
2. Vì là hình bình hành nên

Vì là hình bình hành nên

Giải rút gọn bài 2.5 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình lăng trụ tam giác có và . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ :

1. ;
2. ;
3. .

Giải rút gọn:

1. Vì là hình bình hành nên . 
2. Vì là hình bình hành nên .

Ta có:

Vì là hình bình hành nên:

1. Vì là hình bình hành nên

Giải rút gọn bài 2.6 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp tứ giác . Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu .

Giải rút gọn:

Gọi là tâm hình bình hành . Khi đó, là trung điểm của .

Suy ra,

Ta có:

Do đó:  

Ta có:

Suy ra, hai vectơ và cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, . Khi đó, tứ giác là hình bình hành.

Giải rút gọn bài 2.7 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Trên cạnh , lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng .

Giải rút gọn:

(đpcm)

Giải rút gọn bài 2.8 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện là một điểm thỏa mãn , ở đó là trọng tâm của tam giác . Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Giải rút gọn:

Đặt tên khối rubik là tứ diện đều có là trọng tâm của tam giác , là trọng tâm của tứ diện . Do đó, =>

Vì chiều cao của rubik bằng 8 cm nên cm => (cm)

Giải rút gọn bài 2.9 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao. 

Giải rút gọn:

Lấy điểm sao cho tứ giác là hình bình hành (điểm nằm khác phía với điểm ).

Do đó, giá của các vectơ và cùng nằm trên mặt phẳng . (1)

Vì là hình bình hành nên

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên , do đó hai vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng . (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ và có giá cùng nằm trên mặt phẳng .

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng.

Giải rút gọn bài 2.10 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình lăng trụ tứ giác đều có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

1. ;
2. ;
3. .

Giải rút gọn:

1. Vì nên hai vectơ và ngược hướng nhau.

Suy ra,

Do đó, .

1. Vì là hình chữ nhật nên

Vì là hình vuông nên . 

Do đó,  

Ta có:

1. Vì là hình chữ nhật nên .

Vì là hình vuông và

Ta có:

Giải rút gọn bài 2.11 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho hai vectơ và cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45^o, hãy tính:

1. ;
2. (;
3. .

Giải rút gọn:

Giải rút gọn bài 2.12 trang 59 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho tứ diện . Chứng minh rằng: 

1. ;
2. .

Giải rút gọn:

1. Ta có:
2. Ta có: