Slide bài giảng Toán 12 kết nối Bài 17: Phương trình mặt cầu

Tóm lược nội dung

BÀI 17. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu

Hoạt động 1. Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kinh

Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi toạ độ của nó thỏa mãn điều kiện gì?

Trả lời rút gọn:

Điểm thuộc mặt cầu ⇔

Hay

Luyện tập 1: Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

a) Xác định tâm và bán kính của .

b) Hỏi điểm nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Trả lời rút gọn:

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu  

Vậy mặt cầu có  và

b) . 

=> nằm ngoài mặt cầu .

Luyện tập 2: Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính .

b) Đường kính , với .

Trả lời rút gọn:

a) Mặt cầu có tâm là và có nên có phương trình:

hay

b) Đoạn thẳng có trung điểm

Mặt cầu có tâm và bán kính

Luyện tập 3: Trong không gian , cho là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình:

Chứng minh rằng là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Trả lời rút gọn:

Hay

Vậy là mặt cầu có tâm và có

Luyện tập 4: Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

Xác định tâm, tính bán kính của

Trả lời rút gọn:

Phương trình đã cho tương ứng với . 

.

 Do đó phương trình mặt cầu có tâm và . 

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Luyện tập 5 : Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

Trả lời rút gọn:

Do là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên

hay

=>

Vì thuộc mặt đất nên

=>

=>

Mặt khác, đường tròn tâm , đi qua có bán kính 1 và chu vi là , nên cung nhỏ của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng

Do 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí xấp xỉ bằng

Trải nghiệm. 

Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí đến vị trí và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.

GIẢI BÀI TẬP

Bài 5.25: Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình .

Xác định tâm và bán kính của

Trả lời rút gọn:

.

Vậy mặt cầu có và

Bài 5.26: Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính

Trả lời rút gọn:

Mặt cầu có tâm và nên có phương trình:

Bài 5.27: Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và có bán kính bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Do đó mặt cầu có bán kính

Mặt cầu có tâm và bán kính nên có phương trình:

Bài 5.28: Trong không gian , cho mặt cầu

Xác định tâm, tính bán kính của .

Trả lời rút gọn:

Hay

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Bài 5.29: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a)

b)

c)

d)

Trả lời rút gọn:

a) Phương trình đã cho tương ứng với

. 

Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. 

b) Phương trình đã cho tương ứng với . 

. 

Do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính . 

c) Phương trình đã cho có bậc của x, y, z là 3 nên đây không phải là phương trình của một mặt cầu.

d) Phương trình đã cho tương ứng với . 

.

 Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Bài 5.30: Trong không gian , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Trả lời rút gọn:

.

 Do đó, điểm nằm ngoài đường tròn tâm bán kính 1

Vậy vị trí nằm ngoài vùng phủ sóng của thiết bị nói trên