Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 cánh diều

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Quan sát bảng biến thiên và trả lời câu hỏi:

Dựa vào bảng xét dấu, xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng tương ứng.

Trả lời:

•      Xét tính đơn điệu của hàm số  trên khoảng .

Ta có:  với mọi  thuộc khoảng .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  nghịch biến trên  hay được gọi là đơn điệu trên trên.

•      Xét tính đơn điệu của hàm số  trên khoảng .

Ta có:  với mọi  thuộc khoảng .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  đồng biến trên  hay được gọi là đơn điệu trên trên .

•      Xét tính đơn điệu của hàm số  trên khoảng . 

Ta có:  với mọi  thuộc khoảng .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  nghịch biến trên  hay được gọi là đơn điệu trên trên .

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số  có đạo hàm trên tập , trong đó  là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

 - Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  đồng biến trên

 - Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  nghịch biến trên

 - Chú ý: Nếu hàm số  đồng biến trên tập  hoặc nghịch biến trên tập  thì hàm số  còn được gọi là đơn điệu trên tập   

 - Ví dụ: Các khoảng đơn điệu của hàm số

 - Giải

 - Hàm số đã cho có tập xác định là

 -

 - Ta có bảng xét dấu của  như sau:

 -

 -

Cho hàm số  có đạo hàm trên tập  trong đó  là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu  (hoặc ) với mọi  thuộc  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm của  thì hàm số  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

 - Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu  là một điểm cực trị của hàm số  thì người ta nói rằng hàm số  đạt cực trị tại điểm . Khi đó, điểm  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

 - Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu  là một điểm cực trị của hàm số  thì người ta nói rằng hàm số  đạt cực trị tại điểm . Khi đó, điểm  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số  hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

Giải

Xét khoảng  chứa điểm  

Quan sát đồ thị của hàm số

 ta thấy:

 với mọi  và

Vậy  là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí:

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đạo hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

b)  Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Giải

Giải

Hàm số có tập xác định là

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại  

LUYỆN TẬP

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

 - Tìm tập xác định của hàm số.

 - Tính , tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng  hoặc không xác định.

 - Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và xét dấu đạo hàm).

Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.