Bài giảng điện tử chuyên đề Toán 12 cánh diều

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Trong một trò chơi quay số trúng thưởng, người ta dùng một lồng đựng 100 quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả bóng khác nhau được viết một số

nguyên dương khác nhau từ 1 đến 100. Mỗi lần quay lồng, ta nhận được ngẫu nhiên 1 quả bóng. Ghi lại số xuất hiện trên quả bóng và bỏ quả bóng đó trở lại vào lồng. Gọilà số lần xuất hiện số 10 khi quay lồng 30 lần.

Đại lượng  nói trên trong toán học được gọi là gì?

CHUYÊN ĐỀ I. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

BÀI 1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC.

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN

NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

I

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

HĐ1

                Xét phép thử : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”.

a) Viết không gian mẫu  gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu.

b) Kí hiệu  là số lần xuất hiện mặt ngửa. Hãy nêu các giá trị của .

c) Giá trị của  có dự đoán trước được không?

Giải:

Mặt sấp kí hiệu: ; Mặt ngửa kí hiệu: .

a)

b)  là số lần xuất hiện mặt ngửa

 - Nếu cặp kết quả là  thì

Nếu cặp kết quả là  hoặc  thì

Giải:

c) Giá trị của  không thể được dự đoán chính xác trước khi thí nghiệm được thực hiện vì việc tung đồng xu là một sự kiện ngẫu nhiên và không thể biết trước kết quả cụ thể cho mỗi lần tung.

Nhận xét: Đại lượng  có các đặc điểm sau:

 - Giá trị của  là một số thuộc tập hợp

 - Giá trị của  là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.

Ta nói  là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

ĐỊNH NGHĨA

Đại lượng  được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó, mỗi giá trị ấy không dự đoán trước được và phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên .

Xét phép thử ngẫu nhiên  có không gian mẫu  là tập hữu hạn phần tử.

Chú ý: Các biến ngẫu nhiên rời rạc thường được kí hiệu là

Ví dụ 1:  Xét phép thử : “Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”.

a) Viết không gian mẫu  gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc.

b) Gọi  là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc. Đại lượng  có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không?

Giải:

a) Không gian mẫu mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; ...; mặt 6 chấm.

b) Đại lượng  là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

Luyện tập 1

Chứng tỏ rằng trong bài toán ở phần mở đầu,  là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

Giải:

 là biến ngẫu nhiên: vì giá trị của phụ thuộc vào kết quả của quá trình ngẫu nhiên khi quay lồng và không dự đoán trước được.

Tập giá trị của :  chỉ có thể nhận giá trị từ  đến  vì không thể xuất hiện số  quá 30 lần trong 30 lần quay.

Do đó,  là một biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị thuộc tập hợp .

II

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

HĐ2

Xét phép thử  “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Xét biến ngẫu nhiên rời rạc  là số lần xuất hiện mặt ngửa.

Xét các biến cố:

: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 0”;

 “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 1”;

“Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 2”.

a) Tính

b) Tìm số thích hợp cho ? trong Bảng 1:

Giải:

b) ĐỊNH NGHĨA

Giả sử  là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Giả sử xác suất để  nhận giá trị  bằng , tức là  với . Các thông tin về  như vậy được trình bày dưới dạng như bảng sau:

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất (hay gọi tắt là phân bố xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Người ta chứng minh được rằng .