Lời giải bài 4 chuyên đề Phương pháp đại số trong bài toán diện tích đa giác

Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c của tam giác.

Vì bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 =>  x, y, z > 2 .

Giả sử :  $x  \geq y  \geq z  \geq 2$

Theo kết quả bài 3( ở trên ): $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\leq \frac{3}{z}$

=>  $z\leq 3=> z=3$ .

Từ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 => \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$

<=>  3( x + y ) = 2xy .

=>  (2x - 3 )(2y - 3 ) = 9 = 3.3 = 9.1

=>  Hoặc x = 3 , y = 3 hoặc x = 6 , y = 2

Mà ta có $y\geq z(z=3)$

=>  x = 6 , y= 2 (loại).

=>  x = y = z = 3  <=>  a = b = c.

Vậy tam giác đó là tam giác đều    ( đpcm ).