Giải câu 6 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)

Ta có:

\((3\sin^2x.\cos^2x)'=3.(sin^2x)'.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)'\)

\(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)'+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)'\)

\(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x)\)

\(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x\)

\(y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x -  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x.cos^2x + 6\sin x.\cos^3 x.sin^2x\)

\(=  - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y' = 0\)với mọi \(x\),tức là \(y'\)không phụ thuộc vào \(x\).

 b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)

\(y' = 2cos \left ( \frac{\pi }{3}-x \right ).sin \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)

     \( -2cos \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ).sin \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

     \( +2cos \left ( \frac{2 \pi }{3}-x \right ).sin \left ( \frac{2 \pi }{3}-x \right )\)

     \( -2cos \left ( \frac{2 \pi }{3}+x \right ).sin \left ( \frac{2 \pi }{3}+x \right )-4sin\,xcos\,x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y' =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= -2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin\,2x - 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin 2x - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x \)

\(=sin\,2x(1+1-2)=0\)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).