Giải câu 2 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

\(\Rightarrow y'<0\Leftrightarrow  \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ne 1 \hfill \cr - 1 < x < 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\)

Vậy \(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\)

b) \(y'≥0\) với \(y =  \frac{x^{2}+3}{x+1}\)

Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}= \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\).

\(\Rightarrow y'≥0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ne - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{x \ge 1 \hfill \cr 
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x \ge 1 \hfill \cr x \le - 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\)

Vậy \(x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\)

c) \(y'>0\) với \(y =  \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

Ta có \(y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^2+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\).

Vì \(x^2+x +4 =\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+ \frac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\)

\(\Rightarrow y'>0  \Leftrightarrow  \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\)

\(\Leftrightarrow  -2x^2+2x +9>0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x <  \frac{1+\sqrt{19}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)

Vậy \(x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)