Giải Bài tập 7.28 trang 63 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên:

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a{\sqrt{3}}}{3}$

Tam giác SAH vuông tại H 

$\Rightarrow SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Do đó, thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$ là:

$V=\frac{1}{3}.S_{0}.h=\frac{1}{3}a^{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$