Giải Bài tập 7.24 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AC$, ta có $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$ (do $ABCD$ là hình cầu). Vì vậy, $OMCD$ là hình bình hành.

Suy ra, $OM//CD$. Tương tự, ta chứng minh được $ON//AB$. Do đó, $MN$ là đường chéo của hình bình hành $OMCD$, nên $MN$ vuông góc với $CD$ và $AB$.

b)Gọi $O$ là tâm của hình cầu, ta có $OA=OB=OC=OD$, do các cạnh đều bằng nhau. Từ đó, ta suy ra các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ đều đồng dạng.

Mặt khác, ta biết $OM=ON$, do $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Suy ra, tam giác $OMN$ cũng đồng dạng với $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$.

Do đó, các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều bằng nhau, mỗi góc bằng $\frac{\pi}{2}$ (do $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ là tam giác vuông), nên chúng đều vuông góc với nhau.