Giải bài 6.4 trang 59 sbt toán 9 tập 2: Hệ thức Vi ét và ứng dụng

Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\)             (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta '}  \ge 0\)

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \)

\(= {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 \)

\(= - 9m + 9m + 18 \)

\(= - 9m\left( {{m^2} - m - 2} \right) \)

\(= - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \)

\(\Delta ' \ge 0 \)

\(\Rightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{{m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} } \right.\)  

Hoặc

\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)

\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \ge 2} \cr {m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\)

vô nghiệm

\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \le 2} \cr {m \ge - 1} \cr} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.\)

Vậy với $-1 \le m \le 2 $thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}}\)

\({x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\)

c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\)

\(S = {{2m + 8} \over {2m - 1}} \)

\(\Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 \)

\(\Leftrightarrow 2m\left( {S - 1} \right) = S + 8\)

Ta có:

\(2m + 8 \ne 2m - 1 \Rightarrow S \ne 1 \)

\(\Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} \)

Thay vào biểu thức P ta có:

\(P \,\,\,= {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} - 1}} \)

\(= {{5S + 40 + 4S - 4} \over {2S + 16 - 2S + 2}} \)

\(= {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \)

\(\Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P - S = 4 \)

\(\Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\)

Biểu thức không phụ thuộc vào m