Giải bài 43 trang 58 sbt toán 9 tập 2: Hệ thức Vi ét và ứng dụng

Phương trình: \({x^2} + px - 5 = 0\) có hai nghiệm $x_1 $và $x_2.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \)

\({x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5\)    (1)

a) Hai số $-x_1$và $-x_2$là nghiệm của phương trình:

\(\left[ {x - \left( { - {x_1}} \right)} \right]\left[ {x - \left( { - {x_2}} \right)} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( { - {x_2}x} \right) - \left( { - {x_1}x} \right) + \left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} - px - 5 = 0\)

b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x - {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x - {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0\,\,\,(3)\)

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

\({x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \)

\(\Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0\)