Giải bài 40 trang 57 sbt toán 9 tập 2: Hệ thức Vi ét và ứng dụng

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm $x_7 = 7$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} =  - 35 \Rightarrow 7{x_2} =  - 35 \Leftrightarrow {x_2} =  - 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = - m \)

\(\Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow - m = 2 \)

\(\Leftrightarrow m = - 2\)

Vậy $m = -2 $thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm $x_1 = 7 $và $x_2 = -5$

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm $x_1 = 12,5$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

\({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)

Vậy với $m = 6,25 $thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm $x_1 = 12,5 $và $x_2 = 0,5$

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm $x_1 = -2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - {3 \over 4} \Rightarrow  - 2 + {x_2} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

\({x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\)

\(\Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \)

\(\Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \)

\({m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \)

\({m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2\)

Vậy $m = 5 $hoặc $m = -2 $thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm $x_1 = -2 $và \({x_2} = {5 \over 4}\)

d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\)có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\)

\( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3} \)

\(\Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \)

\(\Leftrightarrow m - 3 = 8 \)

\(\Leftrightarrow m = 11\)

Vậy $m = 11 $thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và \({x_2} = 5\).