Giải bài 41 trang 58 sbt toán 9 tập 2: Hệ thức Vi ét và ứng dụng

a) Hai số u và v có $u + v = 14, uv = 40 $

Nên nó là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 14x + 40 = 0 \)

\( \Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3  \)

\({x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10\)

\({x_2} = {{7 - 3} \over 1} = 4\)

Vậy hai số $u = 10; v = 4 $hoặc $u = 4; v = 10$

b) Hai số u và v có $u + v = -7 ;  uv = 12 $

Nên nó là nghiệm của phương trình 

\({x^2} + 7x + 12 = 0\)

\(\Delta = {7^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \)

\({x_1} = {{ - 7 + 1} \over {2.1}} = - 3 \)

\({x_2} = {{ - 7 - 1} \over {2.1}} = - 4 \)

Vậy hai số $u = -3; v = -4 $hoặc $u = -4; v = -3.$

c) Hai số u và v có $u + u = -5, uv = -24 $

Nên nó là nghiệm của phương trình 

\({x^2} + 5x - 24 = 0\)

\(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 24} \right) = 25 + 96 = 121 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \)

\({x_1} = {{ - 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \)

\({x_2} = {{ - 5 - 11} \over {2.1}} = - 8\)

Vậy hai số $u = 3; v = -8 $hoặc $u = -8; v = 3$

d) Hai số u và v có $u + v = 4, uv = 19 $

Nên nó là nghiệm của phương trình 

\({x^2} - 4x + 19 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.19 = 4 - 19 =  - 15 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e) Hai số u và v có $u - v = 10 ; uv = 24 $

\(\Rightarrow u + (-v) = 10; u(-v) = -24 \)

Nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình 

\({x^2} - 10x - 24 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.\left( { - 24} \right) = 25 + 24 = 49 > 0 \)

\(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \)

\({x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \)

\({x_2} = {{5 - 7} \over 1} = - 2 \)

Hai số $\left[ \matrix{u=12; -v=-2 \hfill \cr u=-2; -v=12 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \left[ \matrix{u=12; v=2 \hfill \cr u=-2; v=-12 \hfill \cr} \right.$

Vậy $u = 12; v = 2 $hoặc $u = -2; v = -12$

f) Hai số u và v có \({u^2} + {v^2} = 85;  uv = 18 \)

\(\Rightarrow {u^2}{v^2} = 324\)

Nên hai số \({u^2}\)và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình 

\({x^2} - 85x + 324 = 0\)

\(\Delta = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.1.324 = 7225 - 1296 = 5929 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \)

\({x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \)

\({x_2} = {{85 - 77} \over {2.1}} = 4 \)

Hai số \({u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\)

\(\Rightarrow  u = \pm 9; v = \pm 2 \)hoặc \(u = \pm 2; v = \pm 9\)

Vì $uv = 18 $nên u và v cùng dấu ta có:

• Nếu $u = 9 $thì $v = 2 $hoặc $u = -9 $thì $v = -2$
• Nếu $u = 2 $thì $v = 9 $hoặc $u = -2 $thì $v = -9$