1. LÀM QUEN VỚI PHÉP CHIA ĐA THỨC

• Phép chia hết: SGK-tr39

Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và B với B ≠ 0. Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q hay AB=Q, trong đó:

+ A là đa thức bị chia

+ B là đa thức chia

+ Q là đa thức thương (thương)

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Khi nào thì an$^{x}$ chia hết cho bx$^{m}$?

HĐ1:

a) $12x^{3}:4x=3x^{2}$

b) $(-2x^{4}):x^{4}=-2$

c) $2x^{5}:5x^{2}=\frac{2}{5}x^{3}$

HĐ2: 

a) Nếu số mũ của số bị chia lớn hơn số mũ của số chia thì thương hai luỹ thừa của x cũng là một luỹ thừa của x với số mũ nguyên dương.

b) Thương hai luỹ thừa của x bằng hiệu của các lũy thừa.

=> Kết luận:

Cho hai đơn thức ax$^{m}$ và bx$^{n}$ (m, n ∈N; a, b ∈R và b 0). Khi đó nếu m ≥n thì phép chia 

$ax^{m} : bx^{n} = \frac{a}{b}.x^{m-n}$ (quy ước: x$^{0}$ = 1).

Luyện tập 1.  

a) $3x^{7}:\frac{1}{2}x^{4}=\frac{3}{\frac{1}{2}}x^{7-4}=6x^{3}$

b) $(-2x):x=-2x^{1-1}=-2$

c) $0,25x^{5}:(-5x^{2})=0,25:(-5)x^{5-2}=\frac{-1}{20}x^{3}$

2. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC, TRƯỜNG HỢP CHIA HẾT

• Cách đặt tính chia: SGK -tr40

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. 

VD: $(-6x^{5}+ 7x^{4} -6x^{3}) : 3x^{3}$

= $(-6x^{5} : 3x^{3}) + (7x^{4} : 3x^{3} )+ (-6x^{3} : 3x^{3})$

= $-2x^{2} + \frac{7}{3}x-2$

Luyện tập 2: 

a) $(-x^{6}+5x^{4} -2x^{3}):0,5x^{2}$

$=(-x^{6}:0,5x^{2})+(5x^{4}:0,5x^{2})+(-2x^{3}:0,5x^{2})$

$=-2x^{4}+10x^{2} -4x$

b) $(9x^{2} -4):(3x+2)$.

* Đặt tính:

Vận dụng:

3. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC, TRƯỜNG HỢP CHIA CÓ DƯ

• Phép chia có dư: SGK-tr42

- Lưu ý: Nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì hãy để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

HĐ3:

Các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E

- Bước 1: Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của D chia cho hạng tử bậc cao nhất của E được 5x

- Bước 2: Lấy D trừ đi tích của E.5x ta được dư thứ nhất.

- Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của E được 3.

- Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi đi tích E . 3 ta được dư thứ hai là dư cuối (-6x+10).

HĐ4: 

Kí hiệu dư thứ hai là G=-6x+10. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia không thể tiếp tục được.

Bởi vì: lúc này bậc của G (đa thức dư thứ hai) nhỏ hơn bậc của đa thức E.

HĐ5: 

E.(5x−3)+G

$=(x^{2}+1)(5x–3)+(−6x+10)$

$=5x^{3}–3x^{2}–x+7$

=D (Đúng)

=> Kết luận:

Khi chia đa thức A cho đa thức B:

+ Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.

+ Nếu thương là đa thức Q, dư là R thì ta có đẳng thức A = B.Q + R 

Luyện tập 3.  

=> R = -105x + 25 và $Q=3x^{2}-9x+30$

Vậy: A = B.Q + R

=> $x^{2}+3x -1=(x^{2}+3x -1).(3x^{2}-9x+30)+(-105x+25)$

Thử thách nhỏ:

$x^{3} - 3x^{2} + x – 1 = (x^{2} -3x)(x-1)$

Đa thức x – 1 là dư vì nó có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.