Bài tập 9.31 trang 83 toán 7 tập 2 KNTT

Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Từ A kẻ đường thẳng m vuông góc với BC tại trung điểm D của BC

=> AD là đường trung tuyến của BC

Ta có  ∆ ADB và  ∆ ADC đều vuông tại D

Xét  ∆ ADB và  ∆ ADC , ta có

    AD chung 

    DB = DC ( D là trung điểm của BC)

    ∆ ADB và  ∆ ADC đều vuông tại D

=>  ∆ ADB =  ∆ ADC

=> AB= AC

=> ∆ ABC cân tại A

Bài tập 9.32 trang 83 toán 7 tập 2 KNTT

Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳngCM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chúng minh đường thẳng BM, vuông góc với đường thẳng CN

Hướng dẫn giải:

Ta có: BN ⊥ CM, CA ⊥ MN. CA và BN căt nhau tại B

=> B là trực tâm của ∆ MNC

=> MB ⊥ CN

Bài tập 9.33 trang 83 toán 7 tập 2 KNTT

Có một mảnh tôn hình tròn cần đục lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác đinh được tâm của mảnh tôn đó?

Hướng dẫn giải:

• Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.
•  Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại D. Khi đó D là tâm cần xác định.

Bài tập 9.34 trang 83 toán 7 tập 2 KNTT

Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải:

Gọi AM là tia đối của AC. At là đường phân giác của $\widehat{MAB}$ => $\widehat{MAt}$ = $\widehat{tAB}$

Ta có At // BC => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{tAB}$ ( 2 góc so le)

                             $\widehat{ACB}$ = $\widehat{MAt}$ ( 2 góc đồng vị)

mà $\widehat{MAt}$ = $\widehat{tAB}$

=> $\widehat{ABC}$ =$\widehat{ACB}$

=> Tam giác ABC cân tại A

Bài tập 9.35 trang 83 toán 7 tập 2 KNTT

Kí hiệu S(ABC) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC

a) Chúng minh S(GBC) = $\frac{1}{3}$ S(ABC)

Gợi ý: sử dụng GM= $\frac{1}{3}$ AM để chứng minh  S(GMB) = $\frac{1}{3}$ S(ABM) ,  S(GCM) = $\frac{1}{3}$ S(ACM)

b)Chứng minh S(GCA) = S(GAB) = $\frac{1}{3}$ S(ABC)

Hướng dẫn giải:

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM= $\frac{1}{3}$ AM

Kẻ BP ⊥ AM ta có S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . GM.

                            S ( ABM) =  $\frac{1}{2}$ BP . AM.

Ta có S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . GM.

=>  S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . $\frac{1}{3}$ AM

=>  S (GMB) = $\frac{1}{3}$ AM. $\frac{1}{2}$ BP

=> S (GMB)=  $\frac{1}{3}$ S (ABM) (1)

Tương tự, kẻ CN ⊥ AM, ta có  S (GMC)= $\frac{1}{2}$ CN . GM.

                                               S ( ACM) =  $\frac{1}{2}$ CN . AM.

mà  GM= $\frac{1}{3}$ AM

=> S (GMC)=  $\frac{1}{3}$ S (ACM) (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

S (GMB) + S (GMC)=  $\frac{1}{3}$ S (AMC) + $\frac{1}{3}$ S (ABM)

=> S( GBC) = $\frac{1}{3}$ S( ABC)

b) BP ⊥ AM => BP ⊥ AG

 CN ⊥ AM =>  CN ⊥ AG

Ta có S (GAB)= $\frac{1}{2}$ BP . AG.

         S (GAC)= $\frac{1}{2}$ CN . AG.

Xét ∆ BPM vuông tại P và ∆ CNM vuông tại N có:

  BM= CM ( M là trung điểm của BC)

$\widehat{PMB}$ = $\widehat{CMN}$ ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ BPM =  ∆ CNM

=> BP = CN

=> S (GAB) = S (GAC)

Có AG= $\frac{2}{3}$ AM

S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + S ( GCB)

=> S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + $\frac{1}{3}$ S( ABC)

=> $\frac{2}{3}$ S( ABC) = 2 S (GAC)

=> $\frac{1}{3}$ S( ABC) = S (GAC) = S (GAB)