I. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN. ĐA THỨC MỘT BIẾN 

HĐ1:

a) Biểu thức biểu thị:

• Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x$^{2}$
• Thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh 2x là: (2x)$^{3}$ = 8x$^{3}$

b) Các biểu thức trên có dạng là tích của số với lũy thừa có số mũ nguyên dương của biến.

Kết luận: Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó. 

Chú ý:

• Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng ax$^{k}$, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức ax$^{k}$.
• Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, ...), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

HĐ2:

a) Biểu thức biểu thị:

Quãng đường ô tô đi được: S = 60 . x (km).

Tổng diện tích của các hình: hình vuông có độ dài cạnh là 2x cm; hình chữ nhật có các kích thước là 3cm và x cm; hình thoi có độ dài đường chéo là 4 cm và 8 cm:

$(2x)^{2}+3x+\frac{4.8}{2}=4x^{2}+3x+16$ (cm$^{2}$).

b) Các biểu thức trên có một biến, mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng đơn thức.

Kết luận: Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

Ví dụ:

• 3x + 1 là đa thức của biến x;
• y$^{2}$ - 2y + $\frac{3}{4}$ là đa thức của biến y. 

Chú ý:

• Mỗi số được xem là một đa thức (một biến). Số 0 được gọi là đa thúc không. Mỗi đơn thức cūng là một đa thức.
• Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến x là P(x), Q(x), R(x) hoặc A(x), B(x),…

Ví dụ 1 (SGK -tr48)

Luyện tập 1:

Biểu thức x$^{2}$ + 9 và $\frac{2}{x^{2}}$ + 2x + 1 là đa thức một biến.

II. CỘNG, TRỪ ĐƠN THỨC CÓ CÙNG SỐ MŨ CỦA BIẾN 

HĐ3:

a) Số mũ của biến x trong hai đơn thức bằng nhau (đều bằng 2)

b) $2x^{2} + 3x^{2} = 5x^{2}$

c) $2x^{2} + 3x^{2}$ = $(2 + 3)x^{2}$ = 5$x^{2}$

Kết luận: Để cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

$ax^{k}+bx^{k}=(a+b)x^{k}$;

$ax^{k}-bx^{k}=(a-b)x^{k}$ (k ∈ N*). 

Ví dụ 2 (SGK- tr49)

Luyện tập 2:

a) $x^{2} + \frac{1}{4}x^{2} - 5x^{2} = (1 + \frac{1}{4} - 5). x^{2} = (\frac{4+1-20}{4}).x^{2} =\frac{-15}{4}x^{2}$

b) $y^{4} + 6y^{4} - \frac{2}{5}y^{4} = (1+ 6 + \frac{2}{5})y^{4} = (\frac{5+30-2}{5}).y^{4} = \frac{33}{5}y^{4}$

III. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

HĐ4:

a) Các đơn thức của biến x: $2x^{2}$; $2x^{2}$; 6x; 2x

b) Số mũ của biến x trong từng đơn thức:

$2x^{2}$: mũ 2

$2x^{2}$: mũ 2

6x: mũ 1

2x: mũ 1

c) P(x) = $2x^{2} + 2x^{2} + 6x + 2x -3$ = $4x^{2} + 8x -3$

Nhận xét: Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ 3 (SGK-tr49)

Luyện tập 3:

P(y)= $(-2y^{3} + \frac{11}{7}y^{3}) + (3y^{2} - 6y^{2}) + y - 5 + 9$

= $\frac{-28+22}{14}y^{3} - 3y^{2} + y + 4$

= $\frac{-6}{14}y^{3} - 3y^{2} + y + 4$

= $\frac{-3}{7} - 3y^{2} + y + 4$

2. Sắp xếp một đa thức

HĐ5:

a) R(x)= $-2x^{2} + 3x^{2} + 6x + 8x^{4} -1$

= $(-2+3)x^{2} + 6x + 8x^{4} -1$

= $x^{2} + 6x + 8x^{4} -1$

b) R(x)= $8x^{4} + x^{2} + 6x - 1$

Kết luận: Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ 4 (SGK-tr50)

Luyện tập 4:

a) H(x) = $5x^{10} - 0,5x^{8} + 4x^{3} - 1$

b) H(x) = $-1 + 4x^{3} - 0,5x^{8} +5x^{10}$

IV. BẬC CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 

HĐ6:

a) P(x) = $9x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} + x - 1 - 9x^{4}$ = $8x^{3} - 6x^{2} + x - 1$

b) Số mũ cao nhất của x là 3.

Kết luận: Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chưa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

Ví dụ 5 (SGK – tr50)

Luyện tập 5: 

a) R(x) = $2021x^{5} + 1946x^{4} - 1975x^{3} - 4,5$

b) Đa thức R(x) bậc 5

c) Hệ số cao nhất: 2021

Hệ số tự do: -4,5

Chú ý:

• Một số khác 0 là đa thức bậc 0.
• Đa thức không (số 0) không có bậc.

V. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 

HĐ7:

a) Tại x = 2, ta có: 3.2 - 2 = 4

b) Tại x = -3, ta có 

P(x) = (-4). (-3) + 6 = 18

Nhận xét: Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).

Ví dụ 6 (SGK – tr50)

HĐ8:

Khi P(1), ta có: $1^{2} - 3.1 + 2$ = 1 - 3 + 2 = 0

Khi P(2), ta có: $2^{2} - 3.2 + 2$ = 4 - 6 + 2 = 0

Kết luận: Nếu tại x = a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a ) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

Chú ý: x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

Ví dụ 7 (SGK – tr52)

Luyện tập 6: 

a) P(x) = $x^{2} - 16$

Khi x = 4 => P(4) = $4^{2} - 16$ = 16 - 16 = 0

Khi x = -4 => P(-4) = $(-4)^{2} - 16$ = 16 - 16 = 0

Phát biểu a đúng.

b) Q(y) = $-2y^{3} + 4$

Khi y = -2 => Q(-2) = $-2.(-2)^{3} + 4$ = -2.(-8) + 4 = 16 + 4 = 20

Phát biểu b sai.

Ví dụ 8 (SGK -tr 53).

Chú ý: Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.