CHƯƠNG VI. THỐNG KÊ

BÀI 4. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

HĐKP1:

a) Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là: 47 - 17 = 30 (s)

    Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là: 32 - 29 = 3 (s)

b) Nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.

Kết luận:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x$_{1}$ ≤ x$_{2}$ ... ≤ x$_{n}$

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R= x$_{n}$ - x$_{1}$

• Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆Q, là hiệu giữa Q$_{3}$ và Q$_{1}$, tức:

∆Q=Q$_{3}$- Q$_{1}$

Ví dụ 1: SGK-tr121

• Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

- Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho đọ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q$_{1}$ đến Q$_{3}$ trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu. 

Thực hành 1.

a) Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 2 = 17.

• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 10.

• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó

Q$_{1}$ =$\frac{1}{2}$(2 + 5) = 3,5.

• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó

Q$_{3}$ =$\frac{1}{2}$ (13 + 15) = 14.

• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta $Q = 14 - 3,5 = 10,5.

b) Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 1 = 18.

• Cỡ mẫu n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là

Q$_{1}$ =$\frac{1}{2}$(9 + 10) = 9,5.

• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó, Q$_{1}$ = 5.

• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó Q$_{1}$ = 15.

• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta $Q = 15 - 5 = 10.

Vận dụng 1.

a. Sắp xếp nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu theo thứ tự không giảm, ta được:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7

• Khoảng biến thiên của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu là: 24,7 - 14, 2 = 10,5

• Cỡ mẫu n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ vị phân thứ hai là 

Q$_{2}$ =$\frac{1}{2}$(21,0 + 22,7) = 21,85.

• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0. Do đó Q$_{1}$ =$\frac{1}{2}$(18,6 + 18,8) = 18,7

• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7. Do đó Q$_{3}$ =$\frac{1}{2}$(23,6 + 24,2) = 23,9

• Khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu là: $\Delta $Q = 23,9 - 18,7 = 5,2.

Sắp xếp nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng theo thứu tự không giảm, ta được: 

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3

• Khoảng biên thiên của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng là R = 20,3 - 16,0 = 4,3

• Cỡ mẫu n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ vị phân thứ hai là

Q$_{2}$ =$\frac{1}{2}$(18,6 + 18,7) = 18,65.

• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6. Do đó Q$_{1}$ =$\frac{1}{2}$(17,4 + 17,5) = 17,45.

• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3. Do đó Q$_{3}$ =$\frac{1}{2}$(19,5 + 19,8) = 19,65.

• Khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng là: $\Delta $Q = 19,65 - 17,45 = 2,2.

b. Nhận thấy khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lâm Đồng nhỏ hơn tỉnh Lai Châu nên nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi trong một năm hơn.

Giá trị ngoại lệ:

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu.

=> Số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. 

=> Khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu. 

Thực hành 2.

Sắp xếp số liệu trong mẫu theo thứ tự giảm dần là: 3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q$_{2}$ = 10.

• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó Q$_{1}$ =$\frac{1}{2}$(3 + 9) = 6

• Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó Q$_{3}$ = 12

• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta $Q = 12 - 6 = 6

Xét Q$_{3}$ + 1,5$\Delta $Q = 12 + 1,5. 6 = 21 và Q$_{1}$ - 1,5$\Delta $Q = 6 - 1,5. 6 = -3

Vậy mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.

2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

HĐKP2.

a) Kết quả trung bình của cung thủ A là: 

$\frac{1}{10}$ (8 + 9 + 10 + 7 + 6+ 10 + 6 + 7 + 9 + 8) = 8

    Kết quả trung bình của cung thủ B là 

$\frac{1}{10}$(10 + 6 +8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8) = 8

b) Cung thủ B có các kết quả các lần bắn ổn định hơn.

⇒ Kết luận:

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x$_{1}$, x$_{2}$,…x$_{n}$.

+ Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S$^{2}$, được tính bởi công thức:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}$[(x$_{1}$-$\bar{x}$)$^{2}$ + (x$_{2}$-$\bar{x}$)$^{2}$+…+(x$_{n}$-$\bar{x}$)$^{2}$]

Trong đó $\bar{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

+ Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: 

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}$(x$_{1}^{2}$+ x$_{2}^{2}$+…+ x$_{b}^{2}$)- $\bar{x}^{2}$.

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là $\widehat{S}^{2}$, được tính bởi công thức:

$\widehat{S}^{2}$=$\frac{1}{n-1}$[(x$_{1}$-$\bar{x}$)$^{2}$ + (x$_{2}$-$\bar{x}$)$^{2}$+…+(x$_{n}$-$\bar{x}$)$^{2}$]

Ví dụ 2: SGK-tr123

• Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

- Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

- Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

-  Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Công thức tính phương sai trở thành:

S$^{2}$=$\frac{1}{n}$[n$_{1}$(x$_{1}$-$\bar{x}$)$^{2}$ +n$_{2}$ (x$_{2}$-$\bar{x}$)$^{2}$+…+n$_{k}$(x$_{k}$-$\bar{x}$)$^{2}$]

Trong đó n = n$_{1}$ + n$_{2}$ + … + n$_{k}$

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}$(n$_{1}$x$_{1}^{2}$+ n$_{2}$x$_{2}^{2}$+…+ n$_{k}$x$_{k}^{2}$)- $\bar{x}^{2}$

Ví dụ 3: SGK – tr124

Vận dụng 2.

a)

Trung bình số giờ nắng ở Tuyên Quang là: 

$\bar{x_{1}}$=$\frac{1}{12}$(25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145) $\approx $ 131,7

Trung bình số giờ nắng ở Cà Mau là:

$\bar{x_{2}}$=$\frac{1}{12}$(180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173) = 172

Phương sai của số giờ nắng ở Tuyên Quang là:

S$_{1}^{2}$=$\frac{1}{12}$(25$^{2}$ + 89$^{2}$ + 72$^{2}$ + 117$^{2}$ + 106$^{2}$ + 177$^{2}$ + 156$^{2}$ + 203$^{2}$ + 227$^{2}$ + 146$^{2}$ + 117$^{2}$ + 145$^{2}$) - 131,7$^{2} \approx $ 2912,4

Độ lệch chuẩn của số giờ nắng ở Tuyên Quang là:

S$_{1}$ = $\sqrt{S_{1}^{2}}$=$\sqrt{2912,4} \approx $ 54.

Phương sai của số giờ nắng ở Cà Mau là:

 S$_{2}^{2}$=$\frac{1}{12}$(180$^{2}$ + 223$^{2}$ + 257$^{2}$ + 245$^{2}$ + 191$^{2}$ + 111$^{2}$ + 141$^{2}$ + 134$^{2}$ + 130$^{2}$ + 122$^{2}$ + 157$^{2}$ + 173$^{2}$) - 172$^{2}$ = 2183

Độ lệch chuẩn của số giờ nắng ở Cà Mau là: 

S$_{2}$ = $\sqrt{S_{3}^{2}}$= $\sqrt{2183} \approx $ 46,7.

b) Nhìn chung:

Ở Tuyên Quang, tổng số giờ nắng có xu hướng tăng dần từ đầu năm đến giữa năm và giảm dần về cuối năm.

Ở Cà Mau, tổng số giờ nắng giảm dần từ đầu năm đến giữa năm và tăng dần về cuối năm.