BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Một nông trại tưới nước theo phương pháp vòi phun xoay vòng trung tâm. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại tọa độ (30; 40) và vòi có thể phun xa tối đa 50m. Làm thế nào để viết phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi này có thể phun tới?

Giải nhanh: 

(x − 30)² + (y − 40)² = 50²

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy.

Giải nhanh: 

IM =

Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

b. (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 8;

c. (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

Giải nhanh: 

a)

b)

c)

Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−2x−4y−20=0;                         b. (x+5)²+(y+1)²=121

c. x²+y²−4x−8y+5=0;                           d. 2x²+2y²+6x+8y−2=0

Giải nhanh: 

a) Tâm I(1; 2) và bán kính R = 5

b) Tâm I(-5; -1) và bán kính R = 11

c)Tâm I(2; 4) và bán kính R = .

d) Tâm I(; -2) và bán kính R =

Bài 4: Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.

Giải nhanh: 

(x−30)²+(y−40)²=50²

Bài 5: Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu sáng đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình (x - 13)² + (y - 4)² = 16.

a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b. Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên như sau: A(11; 4), B(8; 5), C(15; 5). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Giải nhanh: 

a) I(13; 4) và R = 4

b) Diễn viên A, C được chiếu sáng.

Diễn viên B không được chiếu sáng.

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho điểm M₀(x₀;y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) và cho điểm M(x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀.

a. Viết tọa độ của hai vectơ và

b. Viết biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ và

c. Phương trình . =0 là phương trình của đường thẳng nào?

Giải nhanh: 

a) = (x - ; y - );  = (a - ; b - )

b) . = 0

c) Phương trình của đường thẳng

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x²+y² - 2x - 4y - 20 = 0 tại điểm A(4; 6)

Giải nhanh: 

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình:    (x−1)² + (y−1)² =

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm M(; 2) thì buông đĩa (Hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

Giải nhanh: 

60x + 144y - 373 = 0

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−6x−8y+21=0

b. x²+y²  −2x+4y+2=0

c. x²+y² −3x+2y+7=0

d. 2x²+2y²+x+y−1=0

Đáp án chuẩn:

a) tâm I(3; 4) và có bán kính R = = 2

b) tâm I(1; -2) và có bán kính R = .

c) không phải là phương trình đường tròn.

d)  tâm I() và bán kính R =

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x−12y+11=0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)  

d)  

Bài 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Đáp án chuẩn:

a) .

b)

Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Đáp án chuẩn:

 (C): (x−10)²+(y−10)² = 100 hoặc (x−2)²+(y−2)²=4

Bài 5: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²−2x−4y−20=0.

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0

Đáp án chuẩn:

a) Thay điểm M(4,6) vào phương trình đường tròn (C):

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C)

b)

c) hoặc

Bài 6: Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Đáp án chuẩn:

a) (y 0)

b) xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng