BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Đáp án chuẩn:

Đt 1: a = 2; b = -1; c = 3

Đt 2: a = -1; b = -1; c = 1

Đt 3: a = 0; b = -1; c = -3

Đt 4: a = 1; b = 0; c = 2

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀=(x₀;y₀) và cho hai vectơ n⃗  = (a; b) và u⃗  = (b; -a) khác vectơ-không. Cho biết u⃗  có giá song song hoặc trùng với Δ.

a. Tính tích vô hướng n⃗ . u⃗  và nêu nhận xét về phương của hai vectơ n⃗ , u⃗ .

b. Gọi M(x; y) là điểm di động trên Δ. Chứng tỏ rằng vectơ luôn cùng phương với vectơ u⃗  và luôn vuông góc với vectơ n⃗ .

Đáp án chuẩn:

a) . = 0

b) luôn cùng phương với vectơ và luôn vuông góc với vectơ .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x₀;y₀) và nhận vectơ u⃗  = (u₁; u₂)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, tìm tọa độ của M theo tọa độ của M₀ và u⃗ .

Đáp án chuẩn:

M (

Bài 3: a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận v⃗  = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b. Tìm tọa độ điểm P trên Δ, biết P có tung độ bằng 1.

Đáp án chuẩn:

a)  

b) P = (-1; 1)

Bài 4: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đề từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc v⃗  = (40; 30)

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.

b. Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4

Đáp án chuẩn:

a)

b)  ;

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận n⃗ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến.Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - a - b)

Đáp án chuẩn:

M

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a( + bt) + b( - at) - a - b = 0 

0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0

Bài 6: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n⃗  = (3; 5);

b. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; - 7)

c. Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Đáp án chuẩn:

a) 3x + 5y - 8 = 0

b) 7x + 2y = 0

c. 3x + 4y - 12 = 0

Bài 7: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v⃗  = (3; -4).

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ biểu diễn đường đi của điểm M.

b. Tìm tọa độ của điểm M khi Δ cắt trục hoành.

Đáp án chuẩn:

a) 4x + 3y - 10 = 0

b) M = (; 0)

Bài 8: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Bài 9: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m³ nước.

a. Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b. Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận = (1; 2) là vectơ chỉ phương là:

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là và  

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. và cùng phương (Hình 5a, b);

b. và không cùng phương (Hình 5c, d);

c. và vuông góc (Hình 5d)

Đáp án chuẩn:

a) // hoặc trùng

b) cắt  

c) vuông góc

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10

b. d₁: 3x - 4y + 9 = 0 và d₂:

c. d₁: và d₂:

Đáp án chuẩn:

a) và vuông góc và cắt nhau tại M(; ).

b) d₁//d₂ 

c)

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d₁:

a. Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;

b. Đi qua điểm B(4; - 1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x - y + 1 = 0

Đáp án chuẩn:

a) x + 3y - 11 = 0

b) x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết = 38^∘ (Hình 6). 

Tính số đo các góc  

Đáp án chuẩn:

= =

= =

Bài 2: Cho hai đường thẳng

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ( > 0) và Δ2: a₂x + b₂y + c₂ = 0 ( > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là và

Tìm tọa độ của , và tính cos( , ).

Đáp án chuẩn: 

= (; ); = (; ); cos(, ) =

Bài 3: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. Δ₁: x + 3y - 7 = 0 và Δ₂: x - 2y + 3 = 0

b. Δ₁: 4x - 2y + 5 = 0 và Δ₂: 

c. Δ₁: và Δ₂:

Đáp án chuẩn: 

a) (, )  =

b) (, ) =

c) (, ) =

Bài 4: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Đáp án chuẩn: 

(, ) =

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a2 + b2) có vectơ pháp tuyến n⃗  và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

a. Chứng minh rằng hai vectơ và cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b. Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ và . Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c. Giải thích công thức ||=

Đáp án chuẩn: 

a. Có:   (1)

MH     (2)

Từ (1) và (2) cùng phương

b) p = . = a() + b() = + + c (đpcm)

c) Vì cùng phương nên = t

t =

Ta có: || =  

= = (đpcm)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Đáp án chuẩn: 

d(A; BC) =

d(B; AC) =

d(C; AB) =

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 2 = 0 và d₂: 4x - 3y + 12 = 0

Đáp án chuẩn: 

d(, ) = d(M; ) = 2

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; 1)

b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n⃗  = (3; -2)

c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2

d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Đáp án chuẩn: 

a) ; x -2y + 11 = 0

b) ;

c) 2x + y - 3 = 0;

d) ;

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c. Lập phương trình của đường cao AH.

Đáp án chuẩn:

a. x−2y+3=0

b.

c. 2x+y−9=0

Bài 3: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a. Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x+y+9=0;

b. Δ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x−y−2=0.

Đáp án chuẩn:

a)

b) ;

Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a. d₁: x - y + 2 = 0 và d₂: x+y+4=0

b. d₁:  và d₂: 5x−2y+9=0

c. d₁:  và d₂: 3x+y−11=0.

Đáp án chuẩn:

a) vuông góc với và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) //

c)            

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình tham số

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Đáp án chuẩn:

A(; 0) và  B(0; 11).

Bài 6: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 2y + 3 = 0 và d₂: 3x−y−11=0

b. d₁:   và d₂: x+5y−5=0

c. d₁:  và d₁:  

Đáp án chuẩn:

a) (, ) =

b) (, ) =

c) (, ) =

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. M(1; 2) và Δ: 3x−4y+12=0;       

b. M(4; 4) và Δ:  

c. M(0; 5) và Δ:  

d. M(0; 0) và Δ: 3x+4y−25=0

Đáp án chuẩn:

a) d(M; ) =

b) d(M; ) =

c) d(M; ) = 

d) d(M; ) = 5

Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x+4y−10=0

Δ′: 6x+8y−1=0

Đáp án chuẩn:

d(Δ; Δ′) =

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d:

12x−5y+16=0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Đáp án chuẩn:

Bài 10: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Đáp án chuẩn:

a) Đường thẳng AB:

Đường thẳng AC:

Đường thẳng BC:

b)

c) d(A; BC) =