BÀI 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTO

KHỞI ĐỘNG

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Đáp án chuẩn:

Các quân mã có tọa độ (x; y)

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của  trên trục Ox và  trên trục Oy (Hình 1).

Đáp án chuẩn:

Độ lớn của  = Độ lớn của ; phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ  tùy ý. Vẽ =   và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt = , = . Biểu diễn vectơ  theo hai vectơ  và

Đáp án chuẩn:

Đáp án chuẩn:

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ

Đáp án chuẩn:

= (x;y)

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b. Tìm tọa độ của các vectơ , , .

c. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị ,  lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Đáp án chuẩn:

a.

b) = (-1; 4), = (0; -3), = (5; 0)

c) = (1; 0), = (0; 1)

Bài 5: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30∘ (Hình 7).

a. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b. Biểu diễn vectơ vận tốc  theo hai vectơ  và .

c. Tìm tọa độ của

Đáp án chuẩn:

a) AB = DC = 120 (km); BC = AD =120 (km)

b) = 120 + 120

c) = (120; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ a⃗ , b⃗  theo hai vectơ i⃗ , j⃗  như sau: a⃗  = + ; b⃗  = + .

a. Biểu diễn từng vectơ: + , - , k   theo hai vectơ ; .

b. Tìm a⃗ . b⃗  theo tọa độ của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

Đáp án chuẩn:

a) + =  ( + ) + ( + ) 

- =  ( - ) + ( - ) 

k = k + k

b) . = +

Bài 2: Cho hai vectơ m⃗  = (-6; 1), n⃗  = (0; -2)

a. Tìm tọa độ các vectơ + - ; 10-4

b. Tính các tích vô hướng . (10).(-4)

Đáp án chuẩn:

a) + = (-6; -1)

- = (-6; 3)

10 = (-60; 10)

-4 = (0; 8)

b) . = -2 = 80

Bài 3: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v⃗  = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w⃗  = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ .

Đáp án chuẩn:

+ = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Bài 1: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức = - , tìm tọa độ vectơ theo tọa độ hai điểm A, B.

Đáp án chuẩn:

= ( - ; - )

Bài 2: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ

Đáp án chuẩn:

= (1; 16); = (-8; 1); = (-9; -15)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A (x_A; y_A)_; B (x_B; y_B) và C (x_c; y_c). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a. Biểu thị vectơ  theo hai vectơ  và .

b. Biểu thị vectơ theo ba vectơ

c. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Đáp án chuẩn:

a)   = ( + )

b)   = ( + + )

c) M(; ); G(; )

Bài 4: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

a. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Đáp án chuẩn:

a) M(6; 3)

b) G(; 5)

Bài 5: Cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a. . = 0 + = ?

b) và cùng phương hay - = ?

c. = =

d. = ( - ; - ) AB = =

e. cos(, ) = = (, khác ).

Đáp án chuẩn:

a) 0

b)   0

c)  =

d) AB =

e) cos(, ) = (, khác )

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a. Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b. Giải tam giác DEF.

Đáp án chuẩn:

a) H(4; 4)

b) = =

Bài 7: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

a. Tính số đo của

b. Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Đáp án chuẩn:

a)

b) AB 60,8 km; AC 60,1 km

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Trên trục (O; ) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ và cùng hướng hay ngược hướng.

Đáp án chuẩn:

a.

b.   và  ngược hướng nhau

Bài 2: Chứng minh rằng:

a.  = (4; -6) và  = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng

b.  = (-2; 3) và = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng

c. = (0; 4) và = (0; -4) là hai vectơ đối nhau

Đáp án chuẩn:

a.  = -2 ; và  ngược hướng

b.  = 4 ; và  cùng hướng

c. Ta có:

Nhận thấy:  = -  mà | | = | | = 4

 và  là hai vectơ đối nhau

Bài 3:  Tìm tọa độ các vectơ sau:

a.  = 2 +7

b.  = − +3 

c.  = 4

d.  = −9

Đáp án chuẩn:

a) = (2,7)

b) = (-1,3)

c) = (4,0)

d) = (0,-9)

Bài 4: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành

b. Thuộc trục tung

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Đáp án chuẩn:

a. B(4; 0) 

b. C(0; -3) 

c. D(2; 2) 

Bài 5: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Đáp án chuẩn:

a) H(; 0) 

b) M'(; )

c) K(0; ) 

d) M''(; )

e) C(; )

Bài 6: Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Đáp án chuẩn:

a) D(4; 2)

b) M(; )

c) AB = ; AC = ;  BC =  2

; ; =

Bài 7: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Đáp án chuẩn:

a. A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. G(;   (1)

G’(;   (2)

Từ (1) và (2) =>  G ≡ G'

c. AB = ; AC = ; BC = ; ;

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Đáp án chuẩn:

a.D(; 0)

b.

c. Ta có: = 0 ⇒  

⇒

Bài 9: Tính góc xen giữa hai vectơ a⃗  và b⃗  trong các trường hợp sau:

a.  = (2; -3), = (6; 4)

b.  = (3; 2); = (5; -1)

c.  = (-2; −2), = (3; )

Đáp án chuẩn:

a.

b.

c.

Bài 10: Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Đáp án chuẩn:

|| = || hay AB = AD ⇒ ABCD là hình thoi             (1)

                (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11: Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc  = (-210; -42). Cho biết vận tốc của gió là = (-12; -4) và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc  và

Đáp án chuẩn:

227 (km)