Lời giải Bài 6-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho ( O, R ) và ( I, r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > r ) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm I ) .Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E .

a.  Chứng minh : $\triangle ABC$ vuông ở A .

b.  OE cắt AB tại N, IE cắt AC tại F .  Chứng minh : N, E , F ,A cùng nằm trên một đường tròn .

c.  Chứng minh : $BC^{2}=4Rr$ .

d.  Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r .

Hướng dẫn giải : 

a.

Ta có : BE và AE  là hai tiếp tuyến cắt nhau   =>  AE = BE .

Tương tự : AE = EC 

=>  AE = EC = EB = $\frac{1}{2}BC$

=>  $\triangle ABC$ vuông ở A .    ( đpcm )

b.

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau =>  EO là phân giác của tam giác cân AEB

=>  EO là đường trung trực của AB .

<=>  $OE\perp AB<=> \widehat{ENA}=90^{\circ}$

Tương tự : $ \widehat{EFA}=90^{\circ}$

=>  $ \widehat{EFA}+\widehat{ENA}=180^{\circ}$

=>  N, E , F ,A cùng nằm trên một đường tròn .    ( đpcm )

c.

Xét tứ giác FANE có :$ \widehat{EFA}=\widehat{ENA}=\widehat{EAF}=90^{\circ}$

=>  FANE là hình vuông .

Mặt khác , ta có : $\triangle OEI$ vuông tại E và $EA\perp OI$   ( t/c tiếp tuyến )

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta có :  $AH^{2}=OA.AI$

Mà  $AH=\frac{BC}{2}; OA=R;AI=r$  

=>  $\frac{BC^{2}}{4}=R.r=> BC^{2}=4Rr$ .     ( đpcm )

d.

Ta có : BCIO là hình thang vuông .

Áp dụng CT tính diện tích hình thang , ta có : $S_{BCIO}=\frac{OB+IC}{2}.BC$

Mà  : $ BC^{2}=4Rr=> BC=2\sqrt{Rr}$ 

=>  $S_{BCIO}=\frac{r+R}{2}.2\sqrt{Rr}<=>S_{BCIO}=(r+R)\sqrt{Rr} $.

Vậy  $S_{BCIO}=(r+R)\sqrt{Rr} $   ( đvdt )