Lời giải Bài 4-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA' .Gọi E, F  theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B, C xuống AA' .

a.  Chứng minh : AEDB nội tiếp .

b.  Chứng minh : DB. A'A = AD. A'C

c.  Chứng minh : $DE\perp AC$ .

d.  Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh : MD = ME = MF .

Hướng dẫn giải : 

a.

Ta có : D , E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng AB = 1 góc vuông 

Và  : $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^{\circ}$ 

=>   $\widehat{AEB}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác AEBD nội tiếp .    ( đpcm )

b.

Xét $\triangle DBA$  và $\triangle A'CA$ , ta có :

• $\widehat{A}$  chung
• $\widehat{ADB}=\widehat{ACA'}$

=>  $\triangle DBA \sim \triangle A'CA$

=>  $DB.A'A=AD.A'C$    ( đpcm )

c.

Do tứ giác AEBD nội tiếp   =>  $\widehat{EDC}=\widehat{BAE}$   ( cùng bù $\widehat{BDE}$ )

Và  :  $\widehat{BAE}=\widehat{BCA'}$   ( cùng chắn cung BA' )

=>   $\widehat{CDE}=\widehat{DCA'}$

=>  DE // A'C .  

Ta lại có :  $\widehat{ACA'}=90^{\circ}$

=>   $DE\perp AC$ .           ( đpcm )

d.

+  Gọi N là trung điểm AB  => NA = NB .

=>  N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE .

Do M , N là trung điểm BC và AB   =>  MN // AC

Và   : $DE\perp AC$   =>  $DE\perp MN$ .

=>  MN là đường trung trực của DE .

=>  ME = MD .                          (1)

+  Gọi I là trung điểm AC  =>  IA = IC .

=>  MI // AB 

=>  $\widehat{A'BC}=\widehat{A'AC}$   ( cùng chắn cung A'C )

Do ADFC nội tiếp   =>  $\widehat{FAC}=\widehat{FDC}$   ( cùng chắn cung FC )

=>  $\widehat{A'BC}=\widehat{FDC}$   

=>  DF // BA' .

Và  : $\widehat{ABA'}=90^{\circ}=> MI\perp DF$

=>   MI là đường trung trực của DF .

=>  MD = MF .                    (2)

Từ (1) , (2)  =>   MD = ME = MF .    ( đpcm )