Lời giải Bài 1-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho tam giác ABC có các đường cao BD , CE .Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .

a.  Chứng minh : BEDC nội tiếp .

b.  Chứng minh : $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$ .

c.  Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

d.  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .  Chứng minh OA là phân giác góc $\widehat{MAN}$ .

e.  Chứng minh : $AM^{2}=AE.AB$ .

Hướng dẫn giải : 

a.  

Ta có : $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^{\circ}$

=>  $\widehat{BEC}+\widehat{BDC}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác BEDC nội tiếp .   ( đpcm )

b.  

Do BEDC nội tiếp  =>  $\widehat{DMB}+\widehat{DCB}=180^{\circ}$

Mà :  $\widehat{DEB}+\widehat{AED}=180^{\circ}$

=>   $\widehat{ACB}=\widehat{AED}$  ( đpcm )

c.  

Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thằng xy 

=>  xy cũng là đường tiếp tuyến .

Vì AB là dây cung =>  sđ góc $\widehat{xAB}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .

Mặt khác , ta có : sđ góc $\widehat{ACB}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .

=>   $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$

Mà :  $\widehat{ACB}=\widehat{AED}$

=>   $\widehat{xAB}=\widehat{AED}$  hay xy // DE .

Vậy DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác .     ( đpcm )

d.  

Vì : xy // DE => xy // MN 

Mà :  $OA\perp xy$   =>   $OA\perp MN$

=>  OA là đường trung trực của MN .

=>  $\triangle AMN $ cân tại A .

=>  AO là phân giác của góc $\widehat{MAN}$ .    ( đpcm )

e.

Do : $\triangle AMN $ cân tại A    =>  AM = AN 

=>  sđ cung AM  = sđ cung AN

=>  $\widehat{MBA}=\widehat{AMN}$

Và  : $\widehat{MAB}$

=>  $\triangle MAE\sim \triangle BAM$

=>  $\frac{MA}{AB}=\frac{AE}{MA}=> MA^{2}=AE.AB$   ( đpcm )