Bài 1 : 

Cho tam giác ABC có các đường cao BD , CE .Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .

a.  Chứng minh : BEDC nội tiếp .

b.  Chứng minh : $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$ .

c.  Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

d.  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .  Chứng minh OA là phân giác góc $\widehat{MAN}$ .

e.  Chứng minh : $AM^{2}=AE.AB$ .

Bài 2 : 

Cho ( O ) , đường kính AC .Trên OC lấy điểm B và vẽ đường tròn ( O' ) ,đường kính BC .Gọi M là trung điểm AB .Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt (O') tại I .

a.  Tứ giác ADBE là hình gì ?

b.  Chứng minh : DMBI nội tiếp .

c.  Chứng minh : B , I , C  thẳng hàng và MI = MD .

d.  Chứng minh : MC. DB = MI . DC 

e.  Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O') .

Bài 3 :  

Cho tam giác ABC có góc A = 1v .Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC .Vẽ đường tròn tâm O , đường kính CM , đường thẳng BM cắt (O) tại D , AD kéo dài cắt (O) tại S . 

a.  Chứng minh : BADC nội tiếp .

b.  BC cắt (O) tại E .Chứng minh : ME là phân giác của góc $\widehat{AED}$ .

c.  Chứng minh : CA là phân giác của góc $\widehat{BCS}$ .

Bài 4 : 

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA' .Gọi E, F  theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B, C xuống AA' .

a.  Chứng minh : AEDB nội tiếp .

b.  Chứng minh : DB. A'A = AD. A'C

c.  Chứng minh : $DE\perp AC$ .

d.  Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh : MD = ME = MF .

Bài 5: 

Cho đường tròn ( O), đường kính BC  , A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD .Dựng hình vuông ABED , AE cắt (O ) tại điểm thứ hai F . Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .

a.  Chứng minh : BGDC nội tiếp .Xác định tâm I của đường tròn này .

b.  Chứng minh : Tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .

c.  Chứng minh : GEFB nội tiếp .

d.  Chứng minh : C, F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .

Bài 6 : 

Cho ( O, R ) và ( I, r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > r ) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm I ) .Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E .

a.  Chứng minh : $\triangle ABC$ vuông ở A .

b.  OE cắt AB tại N, IE cắt AC tại F .  Chứng minh : N, E , F ,A cùng nằm trên một đường tròn .

c.  Chứng minh : $BC^{2}=4Rr$ .

d.  Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r .

Bài 7 : 

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong ( O,R ) .Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = AN .

a.  Chứng tỏ : $\triangle OMN$ cân .

b.  Chứng minh : OMAN nội tiếp .

c.  BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) tại E. Chứng minh :  $BC^{2}+DC^{2}=3R^{2}$ .

d.  Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I . AO kéo dài cắt BC tại J . Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ .

- - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - - - -