Lời giải Bài 5-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho đường tròn ( O), đường kính BC  , A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD .Dựng hình vuông ABED , AE cắt (O ) tại điểm thứ hai F . Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .

a.  Chứng minh : BGDC nội tiếp .Xác định tâm I của đường tròn này .

b.  Chứng minh : Tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .

c.  Chứng minh : GEFB nội tiếp .

d.  Chứng minh : C, F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .

Hướng dẫn giải : 

a.

Ta có  :  $\widehat{CBG}=\widehat{CDG}=90^{\circ}$

=>  $\widehat{CBG}+\widehat{CDG}=180^{\circ}$

Và  : IG = IC .

=>  Tứ giác  BGDC nội tiếp .       ( đpcm )

b.

Ta có :

$\widehat{BCF}=\widehat{FBA}$    ( cùng chắn cung BF )

Mà :  $\widehat{FBA}=45^{\circ}=> \widehat{BCF}=45^{\circ}$

Và :  $\widehat{BFC}=90^{\circ}$            ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=>   Tam giác BFC vuông cân .    ( đpcm )

Vì $\triangle BFC$ vuông cân   =>  BC = FC .   (1)

Xét $\triangle FEB$  và $\triangle FED$  , ta có :

EF chung

$\widehat{BEF}=\widehat{FED}=45^{\circ}$

BE = ED    ( cạnh hình vuông ABED )

=>   $\triangle FEB= \triangle FED$   ( c-g-c )

=>  BF = FD                  (2)

Từ (1) , (2)  =>  BF = FC = FD .

c.

Vì Tam giác BFC vuông cân  ( c/m trên )   =>  cung BF = cung FC = $90^{\circ}$

=>  sđ $\widehat{GBF}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung BF = $\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$    

Mà  :  $\widehat{FED}=45^{\circ}$ 

=>  $\widehat{FED}=\widehat{GBF}=45^{\circ}$

Mặt khác , ta có : $\widehat{FED}+\widehat{FEG}=180^{\circ}$

=>  $\widehat{GBF}+\widehat{FEG}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác GEFB nội tiếp .     ( đpcm )

d.

Do tứ giác GEFB nội tiếp   =>  $\widehat{BFG}=\widehat{BEG}$

Mà : $\widehat{BEG}=90^{\circ}=> \widehat{BFG}=90^{\circ}$

Mặt khác : $\triangle BFG$ vuông cân tại F =>  $\widehat{BFC}=90^{\circ}$

=>   $\widehat{BFG}+\widehat{CFB}=180^{\circ}$

=>  G , F , C thẳng hàng .    ( đpcm )

Vì  :   $\widehat{GBC}+\widehat{GDC}=90^{\circ}$

=>  F là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC

=>  G nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$.    (  đpcm )