Lời giải bài 5 chuyên đề Bài toán Dựng hình

Phân tích bài toán :

Giả sử bài toán đã giải xong và ta đã dựng được điểm M theo yêu cầu của đề bài.

Kẻ PN // AM và PN = AM  =>   AN // NP , Có nghĩa là $ AN Ox\perp  $   (1)

Mặt khác PN = AM = OP nên tam giác OPN cân :  $\widehat{O_{1}}=\widehat{N_{1}}$ 

Mà  $\widehat{O_{2}}=\widehat{N_{1}}$ (góc so le trong PN // Oy) =>   $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$.

Điều đó có nghĩa là N nằm trên tia phân giác của góc xOy .

Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox hạ từ A.Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác của góc xOy . Vị trí N hoàn toàn xác định => do đó dựng được hình theo yêu cầu.

Cách dựng hình :

Kẻ tia phân giác Ot của góc xOy và từ A ,kẻ đường thẳng vuông góc với Ox , cắt Ot tại N .

Từ N kẻ NP // Oy ,cắt Ox tại P .Từ P kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, cắt Oy tại điểm N cần dựng . 

Chứng minh :

Ta có :

NP // Oy nên $\widehat{O_{2}}=\widehat{N_{1}}$ (so le trong )

Mà Ot là tia phân giác :  $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$.

 =>  $\widehat{O_{1}}=\widehat{N_{1}}$ 

=>  Tam giác OPN cân tại P : OP = PN.

Mà MP và AN cùng vuông góc với Ox nên MP // AN

=>  PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn bởi hai đƣờng thẳng song song)  (2)

Từ (1),(2) =>  OP = AM.

Biện luận:

Góc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A vuông góc với Ox tại một điểm N duy nhất.Do đó bài toán có một nghiệm hình như hình vẽ.