Giải Hoạt động 5 trang 7 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) $3^{r_{1}}=3^{1}=3$

$3^{r_{2}}=3^{1,4} \approx 4.8688$

$3^{r_{3}}=3^{1,41}\approx 4.9151$

$3^{r_{4}}=3^{1,4142}\approx 4.9208$

$3^{\sqrt{2}}=3^{1,4142135624}\approx 4.9210 $

b,Sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ là:

$\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{n}} \right |=\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$

Vì $r_{n}$ là một dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ $\sqrt{2}$, nên khi n tiến đến vô cùng, $r_{n}$ sẽ xấp xỉ $\sqrt{2}$ và $r_{n}-\sqrt{2}$ tiến đến 0. Do đó, ta có:

$lim_{n\to\infty }\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{n}} \right |=lim_{n\to\infty }\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n-\sqrt{2}}} \right |=\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.lim_{n\to\infty}\left |1-3^{r_{n}-\sqrt{2}}  \right |$

Vậy khi n tiến đến vô cùng, sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ tiến đến 0, tức là $3^{r_{n}}$ xấp xỉ $3^{\sqrt{2}}$ với độ chính xác cao hơn khi n càng lớn.