Giải câu 4 đề 17 ôn thi toán 9 lên 10

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác CAOB có:

∠CAO = $90^{0}$ (AC là tiếp tuyến của (O))

∠CBO = $90^{0}$ (BC là tiếp tuyến của (O))

=> ∠CAO + ∠CBO = $180^{0}$

=> Tứ giác BCAO là tứ giác nội tiếp

b. Xét đường tròn (O) có:

∠CAF = ∠ADE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠ECF = ∠ADE (CO // AD; hai góc so le trong)

=> ∠CAF = ∠ECF

Xét ΔCFA và ΔEFC có:

∠CAF = ∠ECF

∠CFA là góc chung

=> ΔCFA ∼ ΔEFC

$\Rightarrow \frac{CF}{EF}=\frac{FA}{CF}\Rightarrow CF^{2}=FE.FA$

c. Ta có:

∠CAF = ∠EBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠CAF = ∠ECF (cmt)

=> ∠EBA = ∠ECF

Xét tứ giác CEBH có:

∠EBA = ∠ECF

=> 2 đỉnh B và C cùng nhìn EH dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác CEBH là tứ giác nội tiếp

=> ∠BEH = ∠HCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)

Mà ∠HCB = ∠HCA (CO là tia phân giác của góc ACB)

=> ∠BEH = ∠HCA (1)

Mặt khác: ΔCFA ∼ ΔEFC => ∠HCA = ∠CEF (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) : ∠BEH = ∠CEF

d. Xét tam giác ACO vuông tại A có:

$AC^{2} + AO^{2} = CO^{2} => AC^{2} = 4R^{2} - R^{2}= 3R^{2}$

=> $CB^{2} = CA^{2} = 3R^{2}$

Ta có: AB ⊥ CO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

CO // AD (gt)

=> AB ⊥ AD => BD là đường kính của đường tròn (O)

Xét tam giác BCD vuông tại B có:

$BC^{2} + BD^{2} = CD^{2} => CD^{2} = 3R^{2} + 4R^{2} = 7R^{2}$

=> CD = R√7

Xét ΔCEA và ΔCDA có:

$\widehat{ACD}$ là góc chung

$\widehat{CAE}$=$\widehat{ADC}$ (2 góc cùng chắn một cung)

=> $\Delta CEA\sim \Delta CAD (g.g)$

$\Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{CA}{CD}\Rightarrow CE=\frac{CA^{2}}{CD}=\frac{3R^{2}}{R\sqrt{7}}=\frac{3R}{\sqrt{7}}$

Xét tam giác CAO vuông tại A có:

$cos\widehat{AOC}=\frac{AO}{CO}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOC}=60^{0}$

=> $∠BOA = 2∠AOC = 120^{0}$ => $∠AOD = 60^{0}$ (kề bù với góc (BOA )

Tam giác AOD cân tại O có ∠AOD = $60^{0}$ nên tam giác AOD đều

=> AD = AO = R

Ta có: OC // AD

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{FC}{DA}\Rightarrow\frac{CE}{CD}=\frac{FC}{DA+FC}$

$\Rightarrow \frac{\frac{3R}{\sqrt{7}}}{R\sqrt{7}}=\frac{FC}{R+FC}=\frac{3}{7}$

$\Rightarrow 7FC=3R+3FC\Rightarrow FC=\frac{3R}{4}\Rightarrow FO=C0-FC=2R-\frac{3R}{4}=\frac{5R}{4}$