Giải câu 4 bài 2: Dãy số

a) Ta có u_n+1 = \( \frac{1}{n+1} - 2\)

Xét hiệu 

u_n+1 - u_n = \( \frac{1}{n+1} - 2 - ( \frac{1}{n}\) - 2)\)

               \(= \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\).

Ta thấy \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên u_n+1 - u_n = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\) < 0 với mọi n ε  N^{*  .}

=> dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Ta có   u_n+1 = $\frac{n+1-1}{n+1+1}$

=>u_n+1 - u_n = \( \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

                                  = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

=>dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Ta có $u_{n+1} = \frac{2n+3}{5n+7}$

Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi n ε N^*

=>dãy số đã cho là dãy số giảm dần.