Giải câu 2 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, có S_k = (k³ + 3k² + 5k) \( \vdots\) 3

Xét với n = k + 1

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

        = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

mà  S_k  \( \vdots\) 3,  3(k² + 3k + 3) \( \vdots\) 3 nên S_k+1 \( \vdots\) 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) \( \vdots\) 3 với mọi n ε N^{*  .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, thì S₁  \( \vdots\) 9

Giả sử với n = k ≥ 1 có S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Xét với n = k + 1 

S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

        = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

mà Sk  \( \vdots\) 9  và  9(5k - 2)  \( \vdots\) 9 => S_k+1 \( \vdots\) 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) \( \vdots\) 9 với mọi n ε N^*  

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1 thì S₁ \( \vdots\) 6

Giả sử với n = k ≥ 1 có S_k = k³ + 11k \( \vdots\) 6

Xét với n = k + 1 ta có:

S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) =  k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11           

        = ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4) 

mà S_k \( \vdots\) 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) \( \vdots\) 6 => S_k+1 \( \vdots\) 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}