Giải câu 1 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

a) Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, 

 S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = \( \frac{k(3k+1)}{2}\)

Xét với n = k + 1, ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =  \( \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)

S_k+1 = S_k + 3k + 2 = \( \frac{k(3k+1)}{2}\) + 3k + 2 = \( \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}\) 

\(=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2} = \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\) (đpcm)

Theo phương pháp quy nạp => hệ thức đúng với mọi n Є N^*

b) Với n = 1, 2 về của hệ thức bằng nhau.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử n = k ≥ 1, tức là \( S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}\)

Xét với n = k + 1 ta có 

\( S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}\)

= \( \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\) (đpcm)

=>hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng về phải. Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k  ≥ 1, hay

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² = \( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

Xét n = k + 1 ta có

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =  \( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)}  = (k + 1).\( \frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}\)  = (k + 1)\( \frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\)

        \( =\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\) (đpcm)

=>hệ thức c) đúng với mọi n ε N^*