Giải bài tập vận dụng trang 30 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức
2.MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Vận dụng: Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thề thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.
a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1, T2, T3 mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.
b) Dự đoán công thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tn mà người đó thu được sau n kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.
a, Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1 mà người đó nhận được sau kì thứ 1 là:
T1 = A + Ar = A(1 + r).
Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T2 mà người đó nhận được sau kì thứ 2 là:
T2 = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)^2.
Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T3 mà người đó nhận được sau kì thứ 3 là:
T3 = A(1 + r)^2 + A(1 + r)^2r = A(1 + r)^3.
b) Từ câu a) ta có thể dự đoán Tn = A(1 + r)^n.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 ta có T1 = A(1 + r) = A(1 + r)^1.
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:
Tk = A(1 + r)^k.
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đúng với
n = k + 1,ta sẽ chứng minh: T(k + 1) = A(1 + r)^(k+1).
Thật vậy, tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T(k + 1) mà người đó nhận được sau kì thứ (k + 1) là:
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Vậy Tn = A(1 + r)^nvới mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bình luận