Giải bài tập 2.3 trang 30 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức
2.3.Chứng minh rằng $n^{3}$– n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Với n = 1 ta có 13 – 1 + 3 = 3 ⁝ 3.
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Giả sử khẳng định đúng với n = k,
tức là ta có: $k^{3}$– k + 3 ⁝ 3
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $(k+1)^{3}$ – (k + 1) + 3 ⁝ 3
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
$(k+1)^{3}$ – (k + 1) + 3
= ($k^{3}$ + 3$k^{3}$ + 3k + 1) – (k + 1) + 3
= ($k^{3}$ – k + 3) + (3$k^{3}$ + 3k)
Vì ($k^{3}$ – k + 3) và (3$k^{3}$ + 3k) đều chia hết cho 3 nên ($k^{3}$ – k + 3) + (3$k^{2}$ + 3k) ⁝ 3 hay $(k+1)^{3}$ – (k + 1) + 3 ⁝ 3.
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bình luận