Giải bài tập 2.7 trang 30 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức

Với n = 4 ta có đa giác là tứ giác.

Số đường chéo của tứ giác là 2 =4(4-3)/2

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 4.

Giả sử khẳng định đúng với n = k (k ≥ 4), tức là ta có: Số đường chéo của một đa giác k cạnh (k ≥ 4) là k(k-3)/2.

chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Số đường chéo của một đa giác (k + 1) cạnh (k ≥ 4) là 

Thật vậy, xét đa giác (k + 1) cạnh A1A2...AkAk + 1, nối hai đỉnh A1 và Ak ta được đa giác k cạnh A1A2...Ak. Theo giả thiết quy nạp đa giác k cạnh này có k(k-3)/2 là đường chéo. 

Các đường chéo còn lại của đa giác (k + 1) cạnh ngoài k(k-3)/2 đường chéo này là các đoạn nối Ak + 1 với các đỉnh từ A2 đến Ak – 1 và đoạn A1Ak (màu đỏ). Tổng cộng có (k – 1) đường.

Vậy tổng số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là:

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 4.