Giải bài tập 81 trang 99 SBT toán 10 tập 2 cánh diều
81. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3; - 1), B(3; 5), C(3; - 4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.
b) Tìm tọa độ các điểm G, H, I.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB: $\overrightarrow{n_{AB}}=(1;-1)$
Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là:$\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{AC}}$ = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=(0;-9)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n_{BC}}$ = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.
b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:
$xG=\frac{xA+xB+xC}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1$
$yG=\frac{yA+yB+yC}{3}=\frac{-1+5+(-4)}{3}=0$
Suy ra G(1; 0).
AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;−9)$
Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): $0\times (x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.$
CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)= 6(1; 1).$
Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): $1\times (x - 3) + 1\times (y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.$
H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}y+1=0\\ x+y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow H(0;-1)$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d1, d2 lần lượt là trung trực của AB, BC
Suy ra M(0; 2) và N (3;$\frac{1}{2}$)
Đường thẳng d1 vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{AB}=(6;6)= 6(1; 1).$
Phương trình đường thẳng d1 đi qua M(0; 2) là: $1\times (x – 0) + 1\times (y – 2) = 0 $hay x + y – 2 = 0.
Đường thẳng d2 vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;−9).$
Phương trình đường thẳng d1 đi qua N(3;$\frac{1}{2}$) là: $0(x – 0) – 9(y – \frac{1}{2}) = 0 ⇔ y – \frac{1}{2} = 0.$
Giao điểm của d1 và d2 là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y-2=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Do đó $I(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$
c) Diện tích tam giác ABC:
$S=\frac{1}{2}\times d(A,BC)\times BC=\frac{1}{2}\times \frac{|-3-3|}{\sqrt{1^{2}}}\times \sqrt{0^{2}+(-9)^{2}}=27$
Vậy diện tích của tam giác ABC là 27
Xem toàn bộ: Giải SBT toán 10 Cánh diều Bài tập cuối chương VII
Bình luận