Giải bài tập 4.19 trang 54 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.19. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$.
b) Xác định điểm N thoả mãn $4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
Trả lời:
a) Giả sử điểm M sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
Gọi I là trung điểm AB và J là trung điểm IC khi đó $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$
Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MJ}$
Suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MJ} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MJ} = \overrightarrow{0}$ hay M $\equiv$ J
b) Giả sử điểm N sao cho $4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
Gọi K là trung điểm CA khi đó:
$4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = 2(\overrightarrow{NA} - \overrightarrow{NB}) + (\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NC}) + \overrightarrow{NA}$
Gọi J là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{JK} + \overrightarrow{JA} = \overrightarrow{0}$
Khi đó $2\overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NA} = 3\overrightarrow{NJ}$
Từ đó $4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{BA} + 3\overrightarrow{NJ} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{NJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ (1)
Lấy điểm L thuộc cạnh AB sao cho $\overrightarrow{AL} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ (2)
Kết hợp với (1) ta được $\overrightarrow{NJ} = \overrightarrow{AL}$
Từ đó A, L , J không thẳng hàng nên tứ giác ALJN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành ALJN
Bình luận