Giải bài tập 4.19 trang 54 SBT toán 10 tập 1 kết nối

Trả lời: 

a) Giả sử điểm M sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

Gọi I là trung điểm AB và J là trung điểm IC khi đó $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$

Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MJ}$

Suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ 

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MJ} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MJ} = \overrightarrow{0}$ hay M $\equiv$ J

b) Giả sử điểm N sao cho $4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

Gọi K là trung điểm CA khi đó:

$4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = 2(\overrightarrow{NA} - \overrightarrow{NB}) + (\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NC}) + \overrightarrow{NA}$

Gọi J là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{JK} + \overrightarrow{JA} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $2\overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NA} = 3\overrightarrow{NJ}$

Từ đó $4\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{BA} + 3\overrightarrow{NJ} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{NJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ (1)

Lấy điểm L thuộc cạnh AB sao cho $\overrightarrow{AL} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ (2)

Kết hợp với (1) ta được $\overrightarrow{NJ} = \overrightarrow{AL}$

Từ đó A, L , J không thẳng hàng nên tứ giác ALJN là hình bình hành 

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành ALJN