Giải bài tập 4.18 trang 54 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.18. Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.
Trả lời:
Giả sử:
- Đường thẳng đi qua M và song song với BC cắt AB, AC tại L, I;
- Đường thẳng đi qua M song song với CA cắt BC, AB tại H, K;
- Đường thẳng đi qua M song song với AB cắt CA, BC tại J, G.
Do tam giác ABC đều và MG // AB, MH // AC nên tam giác MGH cũng là một tam giác đều
Do đó MD $\perp$ GH nên D là trung điểm của GH
Suy ra $2\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MH}$ (1)
Tương tự ta có $2\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ}$ và $2\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{ML}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $2(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF}) = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{ML}$ (3)
Do MK // AC, MJ // AB nên tứ giác AKMJ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MJ} = \overrightarrow{MA}$ (4)
Tương tự ta có $\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{ML} = \overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{MC}$ (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra $2(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF}) = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MO}$ (do O là trọng tâm tam giác ABC)
Bình luận