Giải bài tập 4.15 trang 54 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.15. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OH}$.
c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Trả lời:
a) Do H là trực tâm của tam giác ABC, nên BH $\perp$ CA, CH $\perp$ AB. (1)
Kẻ đường kính AA' của đường tròn ngoại tiếp (O). Khi đó O là trung điểm của AA'
Có $\widehat{A'CA} = 90^{o} = \widehat{A'BA}$
Nên A'C $\perp$ CA, A'B $\perp$ AB
Kết hợp với (1) suy ra A'C // BH, A'B // CH
Suy ra tứ giác BHCA' là hình bình hành
Có M là trung điểm BC nên M là trung điểm của A'H
Xét tam giác AHA' có O là trung điểm của AA', M là trung điểm của A'H suy ra OM là đường trung bình
Từ đó AH // OM và AH = 2OM
Suy ra $\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}$
b) M là trung điểm của BC nên ta có:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AH}$
Suy ra $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH}$ (2)
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$
Kết hợp với (2) suy ra $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$
Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{OG}$ cùng phương
Hay ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng
Bình luận