Giải bài tập 4.16 trang 54 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.16. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OI}$
Trả lời:
I là trung điểm của MN ta có: $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (1)
M là trung điểm của AB ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{IM}$ (2)
N là trung điểm của CD ta có: $\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IN}$ (3)
Từ (2) và (3) áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IC}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{ID})$
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}) + 4\overrightarrow{OI}$
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IN} + 4\overrightarrow{OI}$
Kết hợp với (1) suy ra: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OI}$
Bình luận