Giải bài 4.4 trang 55 sbt toán 9 tập 2: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình \(a{x^2} - bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm

\(\Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} < 4ac \)

\(\Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \)

\(\Rightarrow f\left( x \right) - x = a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c\)

\(= a\left( {{x^2} + {{b - 1} \over a}x + {c \over a}} \right) \)

\(= a\left[ {{x^2} + 2.{{b - 1} \over a}x + {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} - {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \)

\(= a\left[ {{{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)}^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \)

Vì \({\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \)

\(\Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với a.

• Nếu a > 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > x, \forall x\)

\(\Rightarrow a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x, \forall x\)

Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

• Nếu a < 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x, \forall x\)

\(\Rightarrow a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x, \forall x\)

Vậy không có giá trị nào của x để  \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) vô nghiệm.